第02讲 矢量分析与场论(2)

《第02讲 矢量分析与场论(2)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、第02讲本节内容1，方向导数2，梯度3，散度4，旋度5，正交坐标系第一章矢量分析与场论（2）1，数量场的方向导数1.1方向导数由上节可知，数量场的分布情况，可以借助于等值面或等值线来了解，但这只能大致地了解数量场中物理量u的整体分布情况。而要详细地研究数量场，还必须对它作局部性的了解，即要考察物理量u在场中各点处的邻域内沿每一方向的变化情况。为此，引入方向导数的概念。M0ρlM设是数量场中的一点，从出发沿某一方向引一条射线，在上的邻近取一动点M，，若当时（即）：的极限存在，则称此极限为函数在点处沿方向的方

2、向导数。记为，即：可见，方向导数是函数在点处沿方向对距离的变化率。当时，表示在处u沿l方向是增加的，反之就是减小的。在直角坐标系中，方向导数有以下定理所述的计算公式：[定理]若函数在点处可微，，，为方向的方向余弦。则u在处沿方向的方向导数必存在，且：证：M坐标为∵u在点可微，故：是比高阶的无穷小。两边除以得两边取时的极限得例求数量场在点处沿方向的方向导数。解：方向的方向余弦为：，，，，，，∴2，梯度2.1．概念方向导数为在给定点处沿某方向变化率。但从场中一点出发无穷多方向，通常不必要更不可能研究所有方向的

3、变化率。人们往往只关心沿何方向变化率最大，此变化率为多少？下从方向导数的计算公式出发来讨论此问题。∵、、为方向的方向余弦∴方向的单位矢量可表示为：若把，，看成是某矢量的三分量。即：则：在给定点处为一常矢量。由上式，在方向上的投影恰等于函数u在该方向上的方向导数。显然，当与的方向一致时，即时，方向导数取得最大值，或说沿方向的方向导数最大，此最大值为：这样即找到了一个矢量，其方向为变化率最大，且其模即为最大变化率，该矢量称函数在给定点处的梯度。在数量场中的一点M处，其方向为函数在M点处变化率最大的方向，其模恰

4、好等于此最大变化率的矢量，称为在M点处的梯度，记为：需指出，梯度的定义与坐标系无关，它由数量场的分布所决定，在不同的坐标系中只是表达形式不同。前面已得出其在直系中的表达式：从此公式可以看出，梯度在形式上可以视为矢量微分算子与函数u的乘积，算子称为哈密尔顿算子。所以梯度又常表示为。2．2．梯度的性质1°梯度与方向导数的关系：在某点M处沿任一方向的方向导数等于该点处的梯度在此方向上的投影。2°梯度与等值面的关系：场中每一点M处的梯度，垂直于过该点的等值面，且指向增大一方。这是因为点M处的三个分量，，恰为过M点

5、的等值面的法线方向数，即梯度在其法线方向上，故垂直于此等值面。又因为u沿方向的方向导数即沿方向是增加的，或者说指向增大一方。等值面和方向导数均与梯度存在一种比较理想的关系，这使得梯度成为研究数量场的一个极为重要的矢量。例试证明点的矢径的模的梯度。证：，，∴例求在处沿方向的。解法1：直接由公式（略）解法2：作为梯度在上投影，，在处，，，∴M处2.3．梯度的运算法则1°（c为常数）2°（c为常数）3°4°5°6°例已知位于原点处的点电荷q在其周围空间任一点处产生的电位为（），且知电场强度，求。解：由法则6°：

6、3矢量场的通量与散度3.1、通量MSds为区分曲面的两侧，常规定其一侧为曲面的正侧，另一面为其负侧。这种取定了正侧的曲面称为有向曲面。对于封闭曲面，习惯上总是取其外侧为正侧。在研究实际问题时，常规定有向曲面的法向矢量恒指向研究问题时所取的一侧。下面通过例子导出通量定义。设s为流速场中一有向曲面，考虑单位时间流体向正侧穿过s的流量Q。（指向s正侧）在s上取ds，。因ds甚小，可认为和在ds上均不变，分别与M处和相同。流体穿过ds的流量为：其中为M处单位法向矢量则单位时间内沿正向穿过s的总通量为：数学上把这种

7、形式的曲面积分称为通量。设为一矢量场，沿其中有向曲面s正(负)侧的曲面积分：称为矢量场向s正（负）侧穿过曲面s的通量。如磁感应强度为的磁场中，穿过曲面s的磁通量为：若某一矢量场是由两个以上的矢量场迭加而成，则总场穿过某曲面的通量等于每个矢量场穿过该曲面的通量之和。即若则：在直角坐标系中，若可表示为：而其中，，是的方向余弦∴xyzs1s20H例场，s：圆锥面与平面z=H所围封闭面，求从s内穿出的。解：上任一点xyz0若s为上半球面，()，则总流量为单位时间内向上侧穿过s的正流量和负流量的代数和。当Q>0时表

8、示向正侧流量多于向负侧流量；Q<0时向正侧流量小于向负侧流量；Q=0时向正侧流量等于向负侧流量。对于封闭曲面s，提及穿过它的通量时，通常指从内向外。此时：当时，表明穿出的通量大于穿入的，称s内有产生的正源；当时，表明穿入通量大于穿出的，称s内有产生的负源。正源和负源可同时存在。例原点处点电荷q在其周围产生的电场中，任一点处的电位移矢量()，求穿过以原点为球心，R为半径的球面的电通量。解：可见，s内产生电通量的源即为电荷q，q为