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1、函数的对称性阜阳市红旗中学王广阔安徽阜阳邮编236300【摘要】函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是一个高中数学的基础。函数的性质是高考的重点与热点，函数的对称性是函数的一个基本性质，也是难点，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决，对称关系还充分体现了数学之美。本文拟通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来探讨函数与对称有关的性质的一些思考。【关键词】函数图像对称性轴对称中心对称一、函数自身的对称性的问题定理1.函数y=f(x)的图像关于点A(a
2、,b)对称的充要条件是f(x)+f(2a－x)=2b证明：（必要性）设点P(x,y)是y=f(x)图像上任一点，∵点P(x,y)关于点A(a,b)的对称点（2a－x，2b－y）也在y=f(x)图像上，∴2b－y=f(2a－x)即y+f(2a－x)=2b故f(x)+f(2a－x)=2b，必要性得证。（充分性）设点P(x0,y0)是y=f(x)图像上任一点，则y0=f(x0)∵f(x)+f(2a－x)=2b∴f(x0)+f(2a－x0)=2b，即2b－y0=f(2a－x0)。 故点（2a－x0，2b－y0）也在y=f(x
3、)图像上，而点P与点关于点A(a,b)对称，充分性得征。推论：函数y=f(x)的图像关于原点O对称的充要条件是f(x)+f(－x)=0,此时，y=f(x)是奇函数。定理2.函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称的充要条件是 f(a+x)=f(a－x)即f(x)=f(2a－x) （证明略）推论：函数y=f(x)的图像关于y轴对称的充要条件是f(x)=f(－x)，此时，y=f(x)是偶函数。定理3.①若函数y=f(x)图像同时关于点A(a,c)和点B(b,c)成中心对称（a≠b），则y=f(x)是周期函数，且2
4、a－
5、b
6、是其一个周期。 ②若函数y=f(x)图像同时关于直线x=a和直线x=b成轴对称（a≠b），则y=f(x)是周期函数，且2
7、a－b
8、是其一个周期。③若函数y=f(x)图像既关于点A(a,c)成中心对称又关于直线x=b成轴对称（a≠b），则y=f(x)是周期函数，且4
9、a－b
10、是其一个周期。①②的证明留给读者，以下给出③的证明：∵函数y=f(x)图像既关于点A(a,c)成中心对称，∴f(x)+f(2a－x)=2c，用2b－x代x得：f(2b－x)+f[2a－(2b－x)]=2c………………（*
11、）又∵函数y=f(x)图像直线x=b成轴对称，∴f(2b－x)=f(x)代入（*）得：f(x)=2c－f[2(a－b)+x]…………（**），用2（a－b）－x代x得f[2(a－b)+x]=2c－f[4(a－b)+x]代入（**）得：f(x)=f[4(a－b)+x],故y=f(x)是周期函数，且4
12、a－b
13、是其一个周期。二．不同函数对称性的探究定理4.函数y=f(x)与y=2b－f(2a－x)的图像关于点A(a,b)成中心对称。定理5.①函数y=f(x)与y=f(2a－x)的图像关于直线x=a成轴对称。②函数y=f(
14、x)与a－x=f(a－y)的图像关于直线x+y=a成轴对称。③函数y=f(x)与x－a=f(y+a)的图像关于直线x－y=a成轴对称。定理4与定理5中的①②证明留给读者，现证定理5中的③ 设点P(x0,y0)是y=f(x)图像上任一点，则y0=f(x0)。记点P(x,y)关于直线x－y=a的轴对称点为（x1，y1），则x1=a+y0,y1=x0－a，∴x0=a+y1,y0=x1－a代入y0=f(x0)之中得x1－a=f(a+y1)∴点（x1，y1）在函数x－a=f(y+a)的图像上。同理可证：函数x－a=f(y+
15、a)的图像上任一点关于直线x－y=a的轴对称点也在函数y=f(x)的图像上。故定理5中的③成立。推论：函数y=f(x)的图像与x=f(y)的图像关于直线x=y成轴对称。三．函数图像的中心对称与轴对称1、函数的中心对称定义在R上的函数y=f（x）对其定义内的任意的x，如果都有f（x）=2b－f（2a－x）（或f（a＋x）=2b－f（a－x）），那么y=f（x）关于点（a，b）成中心对称；反之亦然。事实上：对任意x∈R，当都有f（x）=2b－f（2a－x）时，有点（x，f（x））与点（2a-x，f（2a－x））存在关系：
16、，这说明点（a，b）是点（x，（f（x））与点（2a－x，f（2a－x））的中点，由x的任意性及中心对称的定义，可知函数y=f（x）关于点（a，b）成中心对称；反之亦然。特例：定义在R上的函数y=f（x）关于点（a，0）对称对任意x∈R，都有f（a＋x）=－f（a－x）（或f（x）=－f（2a－x））例1：已知函数的反函数的图象的对称中心是（－
