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1、应用数学和力学,第26卷第3期(2005年3月)应用数学和力学编委会编AppliedMathematicsandMechanics重庆出版社出版文章编号:1000_0887(2005)03_0363_09一个新的有自由面渗流问题的变分不等式提法1,2133郑宏,刘德富,李焯芬,谭国焕(1.三峡大学土木水电学院,湖北宜昌443002;2.中国科学院武汉岩土力学研究所武汉430071;3.香港大学土木工程系)(郭兴明推荐)摘要:建立了一个新的有自由面渗流问题的变分不等式提法,提法通过将潜在出渗面上的边界条件提为Signorin
2、i型条件,从而从理论上消除了出渗点的奇性并解决了出渗点的定位问题与其它变分不等式提法相比,该提法有更好的数值稳定性关键词:自由边界问题;渗流;变分不等式;有限元中图分类号:O29;TV139.14文献标识码:A引言无压渗流问题存在两类解法,调整网格法和固定网格法前者在每一个迭代中都需要重新生成网格,对非均质土体其计算量通常很大,且常常会导致计算结果的不收敛,因而现正被固定网格法所取代固定网格法又分为直觉化方法和变分不等式方法[1~3][1][2]直觉化方法中比较典型的有Desai_Li的剩余流量法(residualfl
3、ow),张有天等的初[3]流量法,以及Bathe_Khoshgoftaar的调整渗透系数法(AdjustingPermeability)剩余流量法和初流量法类似于应力分析中的初应力法(常刚度法),而调整渗透系数法则类似于切线刚度法这两类方法在本质上都是力图使干区内的渗流量远远低于湿区内的渗流量[4~11]有着严格数学基础的变分不等式法总是试图构造一个定义在固定区域上的新问题,自由面及其上的条件没有被显式地包含在这个新问题中,但是一旦当该问题获得求解,就可以根据某些条件将自由面确定下来现已建立了好几种变分不等式模型,它们的共同特点是非[8][10][
4、5]线性很强Oden_Kikuchi,Chipot曾就这些问题给出了详细的评论比较起来,由Brezis等建议的扩展压力提法(expendedpressureformulation)的非线性相对较弱,因而也取得了更广泛[6~11]的应用自由面的出渗点是所有现有的变分不等式提法中的一个奇点,目前尚未从理论上解决出收稿日期:2004_08_17;修订日期:2004_11_27基金项目:湖北省杰出青年基金资助项目(2002122);湖北省优秀创新团队基金资助项目(200307)作者简介:郑宏(1964-),男,湖北南漳人,教授,博士(联系人.Tel:
5、+86_27_87199226;Fax:+86_27_87193386;E_mail:hzheng@whrsm.ac.cn)363364郑宏刘德富李焯芬谭国焕[7]渗点的定位问题,从而使得所求得的自由面在临近出渗点时曲率会突然变大作者认为出渗点的奇性是导致包括扩展压力提法在内的数值模型的网格依赖性的重要原因[2]本文首先借鉴初流量法的思想,将Darcy定律扩展到包含干区的整个区域;随后构造了一个定义在上的新的边值问题在该问题中,为了确定出渗点的位置,我们令水头函数在潜在出渗面上的满足一Signorini型的边界条件最后
6、建立了问题的变分不等式提法,该提法的非线性强度与Brezis的扩展压力提法相当,但由于消除了出渗点的奇性,从而克服了网格依赖性,显著地改善了数值稳定性[12]1问题的描述不失一般性,我们将以图1所示的二维土坝渗流问题为例流动区域w内任何一点P的水头定义为=y+p/w(于w内),(1)其中y是P点的垂直坐标分量,p代表孔隙水压力,w是水的单位重假定P点的流速v满足Darcy定律v=-D,(2)式中D=[Kij]为二阶渗透张量,=/xi为梯度算子水在坝体内的流动应满足连续性方程v=0(于w内)(3)和下列边界
7、条件:1.1水头边界条件=(在!=AB+CD上),(4a)在上、下游面分别为H和h1.2流量边界条件Tqn=-nv=0(在!q=BC上),(4b)这里n代表单位外法线向量1.3自由面边界条件=y(在!f=AE上)(4c)qn=01.4出渗面边界条件=y(在!s=DE上)(4d)图1土坝渗流示意图由于自由面!f的位置事先是未知的,因此确定!f的位置就成了渗流分析的重要内容2弱形式让我们暂时假定自由面!f的位置已知,则上述有自由面渗流问题的方程提法等价于变分提法:求满足!g(=!+!s+!f
8、)上水头条
