复旦mse复习资料（高等数学）

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1、MSE数学考试辅导冲刺班初等数学部分一元二次方程一元二次方程的一般形式为2axbxc0（a0）。方程的判别式：2b4ac。（1）当0，方程有两个不同实根22bb4acbb4acx，x。122a2abc根与系数的关系：xx；xx。1212aab（2）当0，方程有重根x。2a（3）当0，方程没有实根。例当2m为何值时，方程5xmx200有两个不同实根？解22m4520m400。因此当0，即m20或m20时，方程有两个不同实根。指数方程例解方程xx2324。x2xx解原方程为(2)4230。令

2、2y将方程化为2y4y30，它的解为y1或y3。（1）当xy1时，即21，因此x0。（2）当xy3时，即23。取对数得x，即ln2ln3xln2ln3，ln3因此x。ln2对数方程2例解方程lg(x11x8)lg(x1)1。解利用对数性质，将原方程化为2x11x8lg1lg10，x12x11x8所以10。两边同乘x1，在化简得x12xx20。解得x2或x1。由于x2使原方程无意义，所以方程的解为x1。基本不等式（1）

3、x

4、aaxa（a0）；（2）

5、x

6、axa或xa（a0）。2x9例求函

7、数y的定义域。ln(x5)解要使22x9有意义，必须x90，即，x3或x3。要使ln(x5)有意义，必须x50，即x5。要使分式有意义，必须分母不为零，即x51，因此x4。综上，函数的定义域为：（5，4）（4,3][3,)。一元二次不等式22二次函数yaxbxc当a0，b4ac0时的图像见下图，其中x1，x2是方程2axbxc0的根。因此y（1）2axbxc0的解集为(,x)(x,)。12xx1x2（2）2axbxc0的解集为a0，0时的图像(x,x)。12a0，0时的图像a0，

8、0时的图像yybx2ax例解不等式23xx20。解因为2a30，1432230，所以不等式的解集为(,)。例解不等式26xx20。解将不等式化为26xx20。2此时a60，490。方程6xx20的解为x12/3，x21/2，所以不等式的解集为(,2/3)(1/2,)。指数不等式和对数不等式2x812x例解不等式3。328x2xx解原不等式就是33，因为3是单调增加函数，所以228x2x，即,x2x80。其解集为(2,4)。例不等式lgxlg(x3)1的解集

9、是（A）(2,5)；（B）(3,5)；（C）(3,6)；（D）(5,6)。答（B）。解原不等式可化为x0,x0,x30,x3,x(x3)10.2x5.其解集为(3,5)。因此选择（B）。数列数列就是一列排起来的数a,a,,a,，12n记为{a}，a称为数列的通项。nn等差数列如果数列{a}满足：存在常数d，使得naad，n1,2,，n1n则称{a}为等差数列，d称为公差。n等差数列的一般形式为：a,ad,a2d,,a(n1)d,。1111等差数列的通项公式：ana1(n1)d。n(n1)等差数列的前n项和公式

10、：Snad。n12例已知{a}为等差数列，且S310，S1220，求数列的通项公式和前n项n1020和公式。解设公差为d，则由已知10(101)S10ad310,101220(201)S20ad1220.2012解此方程组得a4，d6。因此1通项公式：aa(n1)d46(n1)6n2；n1n(n1)n(n1)2前n项和公式：Snad4n63nn。n122例已知{a}是等差数列，且aaaaa450，求aa。n3456728解因为a3a4a5a6a7450，即（利用ana1(n1)d）5

11、a20d450。1所以a4d90。1于是aa2(a4d)290180。281等比数列如果数列{a}满足：存在常数q，使得nan1q，n1,2,，an则称{a}为等比数列，q称为公比。n2n1等比数列的一般形式为：a,aq,aq,,aq,。1111等比数列的通项公式：n1aaq。n1na(1q)aaq11n等比数列的前n项和公式：Sn（q1）。1q1q例已知{a}为等比数列，且a12，a48