高等数学下复旦习题十二.doc

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1、习题十二1．写出下列级数的一般项：(1)；(2)；(3)；解：(1)；(2)；(3)；2．求下列级数的和：(1)；(2)；(3)；解：(1)从而因此，故级数的和为(2)因为从而所以，即级数的和为．(3)因为从而，即级数的和为．3．判定下列级数的敛散性：(1)；(2)；(3)；(4)；解：(1)从而，故级数发散．(2)从而，故原级数收敛，其和为．(3)此级数为的等比级数，且

2、q

3、<1，故级数收敛．(4)∵，而，故级数发散．4．利用柯西审敛原理判别下列级数的敛散性：(1)；(2)；(3)．解：(1)当

4、P为偶数时，当P为奇数时，因而，对于任何自然数P，都有，∀ε>0，取，则当n>N时，对任何自然数P恒有成立，由柯西审敛原理知，级数收敛．(2)对于任意自然数P，都有于是，∀ε>0(0<ε<1)，∃N=，当n>N时，对任意的自然数P都有成立，由柯西审敛原理知，该级数收敛．(3)取P=n，则从而取，则对任意的n∈N，都存在P=n所得，由柯西审敛原理知，原级数发散．5．用比较审敛法判别下列级数的敛散性．(1)；(2)(3)；(4)；(5)；(6)．解：(1)∵而收敛，由比较审敛法知收敛．(2)∵而发散，

5、由比较审敛法知，原级数发散．(3)∵而收敛，故也收敛．(4)∵而收敛，故收敛．(5)当a>1时，，而收敛，故也收敛．当a=1时，，级数发散．当01时，原级数收敛，当0

6、(4)，其中an→a（n→∞），an，b，a均为正数．解：(1)，故原级数发散．(2)，故原级数收敛．(3)，故原级数收敛．(4)，当ba时，>1，原级数发散；当b=a时，=1，无法判定其敛散性．8．判定下列级数是否收敛？若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．解：(1)，级数是交错级数，且满足，，由莱布尼茨判别法级数收敛，又是P<1的P级数，所以发散，故原级数条件收敛．(2)，为交错级数，且，，由莱布尼茨判别法知原级数收敛，

7、但由于所以，发散，所以原级数条件收敛．(3)民，显然，而是收敛的等比级数，故收敛，所以原级数绝对收敛．(4)因为．故可得，得，∴，原级数发散．(5)当α>1时，由级数收敛得原级数绝对收敛．当0<α≤1时，交错级数满足条件：；，由莱布尼茨判别法知级数收敛，但这时发散，所以原级数条件收敛．当α≤0时，，所以原级数发散．(6)由于而发散，由此较审敛法知级数发散．记，则即又由知，由莱布尼茨判别法，原级数收敛，而且是条件收敛．9．判别下列函数项级数在所示区间上的一致收敛性．(1)，x∈[-3,3]；(2)，

8、x∈[0,1]；(3)，x∈(-∞,+∞)；(4)，

9、x

10、<5；(5)，x∈(-∞,+∞)解：(1)∵，x∈[-3,3]，而由比值审敛法可知收敛，所以原级数在[-3,3]上一致收敛．(2)∵，x∈[0,1]，而收敛，所以原级数在[0,1]上一致收敛．(3)∵，x∈(-∞,+∞)，而是收敛的等比级数，所以原级数在(-∞,+∞)上一致收敛．(4)因为，x∈(-5,5)，由比值审敛法可知收敛，故原级数在(-5,5)上一致收敛．(5)∵，x∈(-∞,+∞)，而是收敛的P-级数，所以原级数在(-∞,+∞)上

11、一致收敛．10．若在区间Ⅰ上，对任何自然数n．都有

12、Un(x)

13、≤Vn(x)，则当在Ⅰ上一致收敛时，级数在这区间Ⅰ上也一致收敛．证：由在Ⅰ上一致收敛知，∀ε>0，∃N(ε)>0，使得当n>N时，∀x∈Ⅰ有

14、Vn+1(x)+Vn+2(x)+…+Vn+p(x)

15、<ε，于是，∀ε>0，∃N(ε)>0，使得当n>N时，∀x∈Ⅰ有

16、Un+1(x)+Un+2(x)+…+Un+p(x)

17、≤Vn+1(x)+Vn+2(x)+…+Vn+p(x)≤

18、Vn+1(x)+Vn+2(x)+…+Vn+p(x)

19、<ε，因此，级数在

20、区间Ⅰ上处处收敛，由x的任意性和与x的无关性，可知在Ⅰ上一致收敛．11．求下列幂级数的收敛半径及收敛域：(1)x+2x2+3x3+…+nxn+…；(2)；(3)；(4)；解：(1)因为，所以收敛半径收敛区间为(-1,1)，而当x=±1时，级数变为，由知级数发散，所以级数的收敛域为(-1,1)．(2)因为所以收敛半径，收敛区间为(-e,e)．当x=e时，级数变为；应用洛必达法则求得，故有由拉阿伯判别法知，级数发散；易知x=-e时，级数也发散，故收敛域为(-e,e)．(3)级数缺少偶次