模糊函数与cohen类时频分布

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1、5.5时频分布的统一表示式时频分布是非平稳信号的一种非线性变换（“能量化”的二次型变换）。由于其他所有时频分布都可以看作是WD分布的加窗形式，所以WD分布可以被视为所有时频分布之母。5.5.1模糊函数及其和WD之间的类比我们知道，WD分布是对信号的双线性变换x(t+τ2)x*(t−τ2)关于τ作傅里叶变换，如果对该双线性变换关于时间t作傅里叶变换，则得到模糊函数在时域的定义：∞*−j2πθtAx(θ,τ)=∫−∞x(t+τ2)x(t−τ2)edt其中θ和τ分别为角频偏和时延。2模糊函数及其和WD之间的类比对应WD的频率域定义式，模糊函数在频率域的定义式：()∞()*()j

2、2πfτAxτ,θ=∫−∞Xf+θ2Xf−θ2edf（5.5.2）而且A(θ,τ)=A(τ,θ（傅里叶变换性）)（5.5.3）xx式中，X(f)是x(t)的傅里叶变换；t为时间，τ为时延；f为频率；θ为频偏。3模糊函数及其和WD之间的类比瞬时自相关函数：()()*()rxt,τ=xt+τ2xt−τ2（5.5.4）瞬间频自相关函数：()()*()（5.5.5）Rf,θ=Xf+θ2Xf−θ2x4模糊函数及其和WD之间的类比依照定义，模糊函数和WD变换还可以表示成以下各式：()∞()−j2πfτWDxt,f=∫−∞rxt,τedτ（5.5.6）()∞()j2πθt（5.5.7）W

3、Df,t=∫Rf,θedθx−∞x()∞()−j2πθtAxθ,τ=∫−∞rxt,τedt（5.5.8）()∞()j2πfτAτ,θ=∫Rf,θedf（5.5.9）x−∞x5模糊函数的性质时移性。令x(t)=y(t−t)，则0−j2πθtA(θ,τ)=A(θ,τ)e0（5.5.10）xy证明：r(t,τ)=y(t+τ2−t)y*(t−τ2−t)x00=r(t−t,τ)y0()∞()−j2πθtAxθ,τ=∫−∞rxt,τedt∞()−j2πθt=∫−∞ryt−t0,τedt=∞r(t−t,τ)e−j2πθ(t−t0)dt⋅e−j2πθt0∫−∞y0()−j2πθt0=Aθ

4、,τey6模糊函数的性质傅里叶变换性。A(θ,τ)=A(τ,θ)xx∞θθ∗jf2πτAx(τθ,)=+−∫XfXfedf−∞22θ∞∞−+jft2πθ2∗jf2πτ=∫∫xte()dtX⋅−fedf−∞−∞2'θ'θ令f=f−,则f=f+22'θ∞∞−+jft2πθ(')jf2π+∗''2=∫∫xte()⋅X(fe)dfdt−∞−∞7模糊函数的性质π∞∞−−jt2πθ'2∗''jft2πτ(−)=∫∫xte()⋅X(fe)dfdt−∞−∞τ∗∞∞−−jt2πθ'2''jft2πτ(−

5、)=xte()⋅Xfe()dfdt∫∫−∞−∞π∞−−jt2πθ2∗=∫xte()⋅−xt(τ)dt−∞∞'ττ∗−'jt2'πθ'令t'=t−τ,则t=t'+τ=+−∫xtxtedt−∞2222=Ax(θτ,)8模糊函数的性质j2πft频移性。令x(t)=y(t)e0，则j2πfτA(θ,τ)=A(θ,τ)e0（5.5.11）xy证明：j2πf(t+τ2)−j2πf(t−τ2)r(t,τ)=y(t+τ2)e0y∗(t−τ2)e0xj2πfτ=r(t,τ)e0y()∞()−j2πθtAxθ,τ=∫−∞rxt,τedt∞j2πfτ

6、−j2πθt=∫r(t,τ)e0⋅edt−∞y∞−j2πθtj2πfτ=∫r(t,τ)edt⋅e0−∞yj2πfτ=A(θ,τ)e0y9WD与模糊函数的性质对比j2πftWD满足时频移不变性质。若x(t)=y(t−t)e0，则0WD(t,f)=WD(t−t,f−f)xy00j2πftx(t)=y(t−t)e0模糊函数满足相关化移不变性质。即若0，则j2π(fτ−θt)A(θ,τ)=A(θ,τ)e00xy10模糊函数的性质()()()∞()()滤波（卷积性）。令yt=xt∗ht=∫−∞xuht−udu，则()∞()()Aθ,τ=∫Aθ,uAθ,τ−uduy−∞xh（5.

7、5.13）=A(θ,τ)∗A(θ,τ)xhτ其证明过程如下。11模糊函数的性质滤波特性证明如下：AAyy(θτ,,)=(τθ)∞jf2πτ=∫Ry(f,θ)edf−∞∞θθθθ∗∗jf2πτ=∫Xf+Hf+Xf−Hf−⋅edf−∞2222∞jf2πτ=∫Rxh(f,,θθ)⋅⋅R(f)edf−∞∞∞−jf22πujfπτ=∫∫Auxh(,,θθ)⋅⋅eduR(f)edf−∞−∞12模糊函数的性质∞∞jfu2πτ(−)=∫∫Auxh(,,θθ)⋅⋅R(f)edfdu−∞