探索与研究问题的解题策略

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1、肁莂蒇螅羇莁薀羀羃莀螂袃节荿蒂蚆膈莈薄袁肃莇蚆蚄罿莆莆衿袅蒆蒈蚂膄蒅薀袈肀蒄蚃蚁肆蒃蒂羆羂蒂薅蝿芁蒁蚇羄膇蒀蝿螇肃蒀葿羃罿膆薁螅袅膅蚄羁膃膄莃螄腿膄薆聿肅膃蚈袂羁膂螀蚅芀膁蒀袀膆膀薂蚃肂艿蚅衿羈芈莄蚁袄芈蒆袇节芇虿蚀膈芆螁羅肄芅蒁螈羀芄薃羃袆芃蚅螆膅莂莅羂肁莂蒇螅羇莁薀羀羃莀螂袃节荿蒂蚆膈莈薄袁肃莇蚆蚄罿莆莆衿袅蒆蒈蚂膄蒅薀袈肀蒄蚃蚁肆蒃蒂羆羂蒂薅蝿芁蒁蚇羄膇蒀蝿螇肃蒀葿羃罿膆薁螅袅膅蚄羁膃膄莃螄腿膄薆聿肅膃蚈袂羁膂螀蚅芀膁蒀袀膆膀薂蚃肂艿蚅衿羈芈莄蚁袄芈蒆袇节芇虿蚀膈芆螁羅肄芅蒁螈羀芄薃羃袆芃蚅螆膅莂莅羂肁莂蒇螅羇莁薀羀羃莀螂袃节荿蒂蚆膈莈薄袁肃莇蚆蚄罿莆莆衿袅蒆蒈蚂

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3、解集是？解：设，先确定的取值范围。依题意，上的增函数。从而亦是上的增函数。故是上的增函数.要使的解集为只需，即：得，因此，满足的关系式为：。说明：这是一个探索不等式结论成立的条件问题，对于此类问题一方面要注意不等式与函数知识的联系，特别是通过研究函数的性质：如定义域,值域或单调性等，最后达到正确解出不等式的目的;另一方面注意逆推法的运用、执果索因，等价递进。例2、已知双曲线（1）设双曲线上任意一点的横坐标为，O为坐标原点，试用表示线段OP的长度；（2）过双曲线右焦点的动直线交双曲线于A，B两点，当满足什么关系时，存在直线，使三角形OAB为等边三角形。解1)设是双曲线上的

4、任意一点则11有2）设满足题意的由第1）问得：要使为等边，则：。即（舍去），则轴。有又说明：此题是探求图中为正成立的条件，而需要成为正，可以满足，特别要提醒的是若选择求长的运算则较繁.解题时如何切入题目要选择适当的入口，一方面可以从条件去分析，另一方面也可以利用第1）问的结论。此题中运用了第1）问的结论来解题，显得简捷、快速。因此在探索各种不同的数学问题时，筛选信息是避免盲目解题的重要一步,也是有效提高学习能力的重要环节.二、探究结论：给出命题的条件，探求在此条件成立的前提下问题的结论。例3、已知函数值域为，那么函数的一个解析式可以是。解：，又从已知条件中11值域可以取

5、到而取不到，则可以判断必取负值，，因此：=等。说明：此题的答案是开放的，但其本质规律要抓住，即必须符合例4：等差数列中,,公差是自然数,等比数列中,;1）试找出一个值,使中所有项都是中的项,并给出简单说明;2）试找出一个值,使中的项,有不是中的项,并给出简单说明;，3）探索取怎样的自然数时,的所有项都是中的项,而且当不取这样的自然数时,中必有不是中的项,写出并证明你的结论.解：1）取2）取3）取d为正偶数，则取d为正奇数，则证明：设，则,即11说明：通过探索从具体情形出发的例子，全面深刻地分析各种情形时结论成立的形式，然后上升到一般问题的概括，这是从特殊到一般方法的应用

6、。三、判断存在：给出题目开放式的提法，要求判断问题的呈现方式是否成立，这其中有问题是否有解，条件和结论是否存在等。例5、是否存在等差数列，使得对于一切正整数都有成立，其中为数列的前项和。解：假设存在等差数列，使，分别取得由（1）得1）当若若故所得数列不符合题意.2)当代入得或,若则从而成立,若,则,从而成立.综合上述，共有3个满足条件的等差数列：说明：本题是一道探索型题,它的结论没有明确给出，需要自行探索.求解.此类问题一般可以先假定结论存在，然后用一些特殊的值代入所要满足的等式，并从中求出所需要确定的数或式是否存在.此题也可以把转化为含11的恒等式，然后由待定系数求出

7、末知数。例6、已知抛物线的弦AB过焦点F，1）若轴，M为抛物线准线与X轴交点，求的大小；2）若焦点弦AB斜率为（常数），则能否在抛物线准线上找到一点M使1)中大小不变。解：解：1）设AB与X轴交于C，由抛物线的定义得，在直角2）设过焦点的弦AB方程为：得，设该方程两根为，又则：令：，即故在抛物线准线上找到一点。说明：要判断是否在抛物线准线上存在一点M，使11，可转化为两斜率的乘积为-1的数量关系来研究，它就是一个转化与化归的过程.解析几何题中常转化为方程，函数及不等式等问题进行解决。本题还可以建立以AB长为半径，AB的中点为圆心的圆，然后