参证材料--有关群的相关问题探究

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1、有关群的相关问题探究摘要群论是代数学的重要组成部分，群作为一个非常重要的研究对象，其应用已经发展到各个学科领域，本文对群的相关基本概念和性质进行了探究．首先介绍了群的由来和发现；然后给出群的几个等价定义及其证明，并且对子群、正规子群、共轭、子群、同态和同构等重要概念及相关性质进行了探讨；最后对交换群、循环群、变换群、二面体群和四元数群等几类特殊的群的构造和相关性质进行了探讨．关键词：群；子群；正规子群；Sylow子群；二面体群；四元数群.有关群的相关问题探究AbstractThegrouptheroyisanimportantpa

2、rtofalgebra.Asaveryimportantresearchsubject,theapplicationsofgroupshasbeendevelopedtovariousdisciplines.Inthispaper,therelatedconceptsandpropertiesofthegrouparediscussed.Firstly,theoriginanddiscoveryofgroupsareintroduced.Secondly,theseveralequivalentdefinitionsandproo

3、fsofthegrouparegiven,andthensomeimportantconceptsandpropertiesofthegrouparediscussed,suchassubgroups,normalsubgroups,conjugate,sylowsubgroups,homomorphicsandisomorphics,andsoon.Finally,thestructuresandpropertiesoftheabeliangroups,cyclicgroups,transformationgroups,Dihe

4、dralgroupandQuaterniongroupareanalyzed.Keywords:group;subgroup;normalsubgroup;Sylowsubgroup;Dihedralgroup;Quaterniongroup有关群的相关问题探究目录第一章群的由来和发现……………………………………………………………1第二章群的基本概念………………………………………………………………32.1群的定义…………………………………………………………………………32.1.1群的等价定义及其证明…………………………………………

5、…………32.1.2群的阶及元素的阶…………………………………………………………72.2子群………………………………………………………………………………92.3正规子群…………………………………………………………………………102.4共轭………………………………………………………………………………122.5同态与同构………………………………………………………………………122.6子群………………………………………………………………………13第三章几类特殊的群………………………………………………………………143.1交换群……………

6、………………………………………………………………143.2循环群……………………………………………………………………………153.3变换群和置换群…………………………………………………………………163.4线性群……………………………………………………………………………183.5二面体群…………………………………………………………………………193.6四元数群…………………………………………………………………………193.7欧式空间的正交变换群…………………………………………………………20参考文献…………………………………………

7、……………………………………22谢辞…………………………….……………………………………………………….23有关群的相关问题探究代数学是数学的一部分，而群论又是近世代数的重要研究对象，群是现代代数最基本和最重要的概念之一．数是数学研究的基本对象，数的基本运算与各种性质组成一个代数系统，因此群论的研究就变得非常有意义.对于群的概念，虽然定义很简单，但只有真正理解了才能深刻体会到探究群的意义及其重要性.群已经渗透到了各个数学学科分支，群与数、高等代数、线性方程、几何等都有联系与应用，甚至与物理中的运动群，晶体群，量子力学都有应用研究，

8、群论已经成为了研究对称性的有力工具．第一章群的由来与发现群的发现追溯于19世纪代数中高次方程求解的问题，群概念的发现时代数学的一个新突破．由于代数对象出现扩张，导致群的发现，除了伽罗瓦的有限置换群，克莱因的无限置换群，还有离散的群、无限群、连续群．