数学论文——勾股定理的证明方法探究

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1、勾股定理的证明方法研究性学习报告（青岛市59中学初二七班高嘉琪）勾股定理是初等几何中的一个基本定理。所谓勾股定理，就是指在直角三角形中，两条直角边的平方等于斜边的平方。数学公式中常写作：a2+b2=c2（直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c）。那么勾股定理是怎么证明的呢？方法很多很多。1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法。实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。在这数百种证明方法中，有的十分精彩，有的十分简洁，有的因为证明者身

2、份的特殊而非常著名。 在国外，尤其在西方，勾股定理通常被称为毕达哥拉斯定理．这是由于，他们认为最早发现直角三角形具有“勾2+股2=弦2（即如上所说：a2+b2=c2）”这一性质并且最先给出严格证明的是古希腊的数学家毕达哥拉斯（Pythagoras，约公元前580－公元前500）．       实际上，在更早期的人类活动中，人们就已经认识到这一定理的某些特性．除我国在公元前1000多年前发现勾股定理外，据说古埃及人也曾利用“勾三股四弦五”的法则来确定直角．但是，这一传说引起过许多数学史家的怀疑．比如，美国的数学史家M·克莱因教授曾经指出：“我们也不知道埃及人是否认识到

3、毕达哥拉斯定理．我们知道他们有拉绳人，但所传他们在绳上打结，把全长分成长度为3、4、5的三段，然后用来形成直角三角形之说，则从未在任何文件上得到证实．”不过，考古学家们发现了几块大约完成于公元前2000年左右的古巴比伦的泥版书，据专家们考证，其中一块上面刻有如下问题：“一根长度为30个单位的棍子直立在墙上，当其上端滑下6个单位时，请问其下端离开墙角有多远？”这是一个三边为3:4:5三角形的特殊例子；专家们还发现，在另一块版板上面刻着一个奇特的数表，表中共刻有四列十五行数字，这是一个勾股数表：最右边一列为从1到15的序号，而左边三列则分别是股、勾、弦的数值，一共记载着

4、15组勾股数．这说明，勾股定理实际上早已开始在人们的知识土地中“萌芽”了。因为勾股定理的证明方法太多，不可能全数叙述。所以，我们就来了解一下较简洁、易懂的几种方法。方法一：课本内的方法如图所示，S大正方形=S三角形×4+S小正方形。即(a+b)2=4(1/2ab)+c2，化简后为：a2+b2=c2。方法二：以a,b为直角边（b＞a），以c为斜边作4个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积为1/2ab。把这4个三角形拼成如图所示的正方形。∵Rt△DAH≌Rt△ABE∴∠HDA=∠EAB∵∠HDA+∠HAD=90°∴∠HAD+∠EAB=90°∵ABCD是个边长为c的正

5、方形，面积为c2又∵∠HEF+∠BEA=180°∴∠HEF=90°∴EFGH是一个边长为b-a的正方形，面积为（b-a）2∴4×1/2ab+（b-a）2=c2∴a2+b2=c2C方法三：以a、b为直角边，以c为斜边做两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于1/2ab。把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A,E,B三点在一条直线上。∵RtEAD≌Rt△CBE∴∠ADE=∠BEC∵∠AED+∠ADE=90°∴∠AED+∠BEC=90°∴∠DEC=180°—90°=90°∴△DEC是一个等腰直角三角形，面积为1/2c2又∵∠DAE=90°，∠EBC=90°∴AD

6、∥BC∴ABCD是个直角梯形，面积为1/2（a+b）2∴1/2（a+b）2=2×1/2ab+1/2c2∴a2+b2=c2方法四：作三个变长分别为a,b,c的正方形，把它们拼成如图所示的形状，是H,C,B三点在一条直线上，连接BF,CD.过C作CL⊥DE，交AB于点M，交DE于点L。∵AF=AC,AB=AD∠FAB=∠GAD∴△FAB≌△GAD∵△FAB≌△GAD∵△FAB的面积为1/2a2.△GAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半。∴矩形ADLM的面积为a2，同理可得，矩形MLEB的面积为b2∵矩形ADLM+矩形MLEB的面积=矩形ADEB的面积∴a2+b2=c2

7、如上列举了的4种方法，都较为简洁、通俗的证明了勾股定理。勾股定理的证明方法仍然在不断增加，探究也在不断深入。