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1、洛伦兹混沌系统电路仿真和设计【摘要】本文基于Lorenz混沌系统的动力学方程,利用Matlab软件中的simulink模块搭建方程进行仿真，并将Lorenz方程进行标度变换为一个新的标准方程，使用Mutisim软件进行电路设计与模拟，得到了理想的结果。【关键词】Lorenz混沌系统；Matlab仿真；模拟电路设计0引言混沌系统对初始值非常敏感，并且具有类随机性，可控及同步性。近年来，混沌保密通讯、混沌电路及加密发展成为一个前沿领域。混沌加密等应用问题首先要解决的问题即混沌电路的设计。本文基于Lorenz混沌系统，分析其基本特性，并进行了电路仿真及模拟电路的设计。1963年著名的气象学家
2、E.N.Lorenz研究大气热对流运动时发现了一种特殊的混沌现象，即蝴蝶效应。Lorzen吸引子是目前文献记载最早的奇怪吸引子，因此Lorenz也被成为"混沌之父”。至今，Lorzen系统族的发展虽然有很长的历史，但是Lorzen系统族丰富的动力学行为依然值得更加深入的研究，并进行更多的应用发展。lorenz系统的动力学方程为：■=-ox+oy■二-y+rx-xz■二-bz+xy(1)式中，X,y和Z表示对流强弱，水平温差和与温差有关的变量；o、V和b则分别为Rayleigh数、Rayleigh数和容器大小有关的参数。当o二10,b二8/3,Y=28时，lorenz系统出现混沌现象。1
3、999年，我国学者陈关荣等人提出了一个新的混沌吸引子，即Chen吸引子，它的动力学方程为：■=a(y~x)■=(c~a)x-xz+cy■二-bz+xy(2)当a=35,b=3,c=28时，Chen系统产生混沌现象。2002年，吕金虎提出了LU系统，它的动力学方程为：■=a(y-x)■二-xz+cy■二xy-bz(3)当a=36,b=3,c二20时，LU系统出现混沌现象。这三个系统具有类似却不相同的动力学行为，被称为Lorzen系统族[1],它对于混沌系统的理论研究以及控制、同步、加密应用等都具有重要的意义。1Lorenz系统的Matlab仿真Lorenz系统的参数取固定值，。二10,b
4、=8/3,r=28,动力学方程为：■二T0x+10y■二-y+28x-xz■二-8/3z+xy(4)根据公式(4)提供的Lorenz系统数学模型，利用Mat1ab软件进行仿真，仿真结果如图1所示。2Lorenz动力学方程的改进由图1的仿真结果观察得到，x轴范围为-30V〜30V,y轴范围为-30V-30V,z轴范围为0〜50V。而一般运算放大器较好的线性工作范围是-10V〜+10V,由此可见，没有经过变形的Lorenz混沌系统不能采用模拟电路来实现的。这也是Lorenz混沌系统不能实现电路的关键原因。下面将Lorenz动力学方程的参数进行调整，使各个输出端工作范围限制在-10V〜+10
5、V[2-3]o引入三个全新的变量：u=H,v=B,w=B(5)由相图可知，x在变化幅度为-30V〜30V,取u二■后，u变化范围是-3V〜3V。y轴范围为-30V〜30V,取v二■后，v变化范围是-3V〜3V。z轴范围为0〜50V,取w二■后，w变化范围是0V〜3V,均满足电路要求的动态范围。以u、v、w三个变量表示的Lorenz动力学方程为：■二o(v~u)■二Pu—v—20uw■二5uv—Bw(6)既得改进后的Lorenz动力学方程。将变量u、v、w还原为x、y、z,■=o(y~x)■二Px-y-20xz■二5xy-Bz(7)改进后Lorenz系统电路输出幅值范围满足实际电路要求幅
6、值范围。其中xy乘积项显示的范围是近-4V〜4V,xz乘积项显示的范围是近-4V〜4V,yz的乘积项显示的范围是近0V〜50V。因此，各参数幅值范围均在-10V〜+10V。经过标度变换后，新的动力学方程完全可以符合电路设计的要求。3Lorenz系统的模拟电路设计由改进的Lorenz动力学方程，建立Multisim仿真模型，经过计算确定所需要的电路器件及其参数。该仿真模型使用8个模拟运算放大器，2个模拟乘法器。通过运算放大器，电容及电阻搭建电路实现了三个积分器U2、U6、U8,它们的的输出端分别是X,Y,Zo乘法器Al输出端XZ,乘法器A2输出端是XY,Rl=R2=R3=R4=R6=R7
7、=R8=R10=Rll=R14二R15二R16二R17=10k,R5为13k,R9为200k,R13为200k,R18为20k,R20为50k,R21为91k,R12和R19为10k电位器，C1和C3为100nf,C2为910nfoLorenz系统模拟电路如图2所示，仿真结果如图3所示，得到了理想的仿真效果。图2改进后Lorenz系统模拟电路【参考文献】［1］黄永念•非线性动力学引论［M］.北京：北京大学出版社，2010.［2］康大伟.洛伦兹混
