计算周期解地数值方法

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1、第16卷第4期计算物理Vol.16,No.41999年7月CHINESEJOURNALOFCOMPUTATIONALPHYSICSJul.,19993计算周期解的数值方法张锁春(中国科学院应用数学研究所,北京100080)摘要比较系统地叙述计算常微分方程自治系统周期解的数值方法,重点介绍方法或算法的原始构想和过程。关键词常微分方程自治系统周期解数值方法中图分类号O2410引言周期振荡现象在自然界普遍存在着,在物理、化学、生物、电子学和工程技术等问题中经常遇到,在数学中求解微分方程的周期解是一个古老而又困难的问题。著名的希尔伯特(Hi

2、lbert)第16问题就是有关微分方程周期解存在性的判定问题,至今进展甚少,可见难度之大。由于计算机的普及和计算技术的发展,人们的研究思路和方法已发生改变,往往是先计算后分析。从计算所绘的图象中观察到有周期解的存在,然后再从理论上给予严格的证明。一[1]些来自实际问题的研究,如生物化学中的布鲁塞尔振子(Brusselator)、著名的Belousov2[2]Zhabotinskii化学反应中产生的俄勒冈振子(Oregonator)等,人们的兴趣不在于周期解存在性的理论证明,更多地是关心周期解的位置、形状及周期的大小。近十多年来发展迅

3、速的非线性现象的研究中,与耗散结构、Hopf分歧和混沌等有关的问题,常常需要数值地计算周期轨线。这就意味着在理论分析先天不足的条件下,还要在计算机上数值地计算出周期解。于是计算方法的研究极为重要。1难点数学上求微分方程周期解和周期的问题可归结为求解下列的数学问题:寻找{u(t),T},使得du(t)=A(u(t))dt(1)u(t)=u(t+T)n成立。其中u(t)是R中的实值向量函数,t是时间变量,A(·)是一个非线性算子,T是最小正周期。显然,系统(1)是常微分方程自治系统,因为A(·)中不明显含有t.更一般情形,收稿日期:19

4、98204203;修回日期:19992022023国家自然科学基金资助项目(#19671089)张锁春男59研究员博导北京2734信箱100088338计算物理第16卷A(·)可以是非线性椭圆算子,则(1)是表示非线性抛物型偏微分方程组。特别感兴趣的是如下的反应—扩散方程形式5ui=DiΔui+fi(u1,⋯,um),1≤i≤m,Ω×(0,T)5t在边界5Ω上受某种边界条件限制。这类方程的时空周期解的构造可见文[3,4].注1若u是A(u)=0的解,则对所有的T>0,u亦是(1)的解,即为平衡态解。注2若{u,T}是(1)的解,则令

5、uτ(t)=u(t+τ),Pτ,则{uτ,T}也是(1)的解,即自治系统的解具有平移不变性。注3若{u,T}是(1)的解,则Pn>0,n为整数,{u,nT}也是(1)的解。为此,利用t/T作为新的时间变量,u(t)=u(t+1),或更简单形式u(0)=u(1),此时(1)中原方程变为du/dt=TA(u),系统(1)变成一个含有单参数族的边值问题或看作具有非分离边界条件的非线性特征值问题。假定在Hilbert空间中来考虑,则数学问题(1)可叙述为:寻找{u(t),T},T>0,u(t)∈V

6、];H),满足du(t)=TA(u(t))dt(2)u(0)=u(1)如何数值地求解出问题(2)的周期解和周期呢?这正是本文要回答的问题。其前题当然要假定问题(2)已存在唯一甚至是稳定的周期解,专门探讨如何在计算机上数值地计算出的方法。这个问题的难点在于事先并不知道其周期的大小,只能在数值地计算出周期解的同时才能确定其周期的大小。换言之,用数学语言来表达就是要求的未知数个数要比已知的方程个数少。也正因为这种不相容性引导出多种方法的研究。大致可分为两类:一类是暂时固定一个未知量,减少变量个数;另一类是扩大定义范围,增加方程个数。注4若

7、求(2)的不稳定周期解,仅需在算子A的前面加一个负号,即用逆时间来积分原方程。注5若A是线性算子,{u,T}是(2)的解,则Pλ∈R,{λu,T}也是(2)的解。注6若A中显含时间t,即为n阶非自治系统,则令θ=t/T,原n阶非自治系统就可变为du=TA(u,θT)dt(3)dθ1=dtT(n+1)阶自治系统,故非自治系统不再单独研究。2计算方法方法1最笨拙的方法是直接利用求解常微分方程初值问题的任何一种数值积分方法,如最简单的是Euler折线法,从任何一个不是平衡点的初值出发,一个时间步长接着一个时间步长地往前计算,若能在屏幕上动

8、态显示每一步的计算结果为最好。一旦发现周期轨线出现时,就输出其计算结果,仔细观察其数值大小。近似相等的数值重复地出现时,就可以确定出周期解和周期的大小。这种做法显然带有一定的盲目性,会造成计算时间的浪费,还需要一定的人工干预。虽然笨拙