stolz定理在求极限中应用

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1、Stolz定理在求极限中应用摘要：本文阐述了Stolz定理及其推广，给出了Stolz定理及其推广在求数列和函数不定式极限中的应用。Abstract：ThispaperintendstoprobeintotheStolztheoremanditsgeneralization.Basedonthis,howtocalcula.telimitsofSequencesandFunctionsbyusingthesetheoremsisfurtherexplained.关键词：极限；Stolz定理；应用Keywords：limits；StolzTheo

2、rem；application中图分类号:0717文献标识码：A文章编号:1006-4311(2013)26-0279-020引言随着我们对极限知识进一步理解，在解题中选取的方法不同，会收到不同的效果。在求解极限问题时，有很多方法和技巧，比如：①迫敛法则；②单调有界原理；③重要极限;④Cauchy收敛准则等等。这些都是我们熟知的方法。本文另外介绍一种典型的求数列和函数不定式的极限方法。1Stolz定理及其应用1.1Stolz定理定理1[3](BStolz公式)设数列{an},{bn},其中{bn}严格单调递增，且・b■二+8,如果■・p+8-

3、8,则・■二a+o°—o°.定理2[3](■Stolz公式)设数列{an},{bn}严格单调递减，且・q■二・b■二0,如果■■=%则■■二a.利用上述两个定理，可以得到如下推论。推论1设・X■二a,则1)■■=&；2)■■二a(xi>0).推论2设x«>0,若・■二a,则■■二a.证明：令x■二1,作新序列x■■二■,x■■二■,…，x■■二■,…，则■二■・由条件■x■■二a,故由推论1中2)得1.2Stolz定理的应用下面利用Stolz定理给出了一种求离散的待定型■的极限方法，参见文献[1H2]。例1求■■・解：由Stolz定理推论2■

4、■二1得：■■=■■=1.例2设u■>(),■■=!!・证明■■■=■・证明：首先由Stolz定理推论2知：■(uB)■二h令x■二■,则1nx■二■由Stolz定理1得：■lnx■=■■=■■=lnH•••■x■二■,即・■■二■・例3设・xB=a,i)若a为有限数，证明：ii)若a为+oo,证明■■二+oo.证明：令bn二x・+2x・+・・・+nx・,yn=n(n+1)・i)因为■■二■■二■■二■由Stolz定理1得：■■■■■■■・ii)由于Stolz定理对■■二00也成立，所以■■二■■二■■二+8.例4(1)设00且为常数，若①g

5、(x+T)>g(x),?埜X?叟a；②g(x)f+oo(当X—+oo时)，且f,g在[a,+°°)内闭有界;③■■二k(其中k为有限数，或+°°,或-°°)；则■■二k・定理4(■型)设T>0且满足①00).证明：取£(x)二x,令F(x)二Inf(x),由定理3得:■ln[f(x)==故・[f(x)]■二■■・例6f(x)在[a,+°°)上有定义，内闭有界，■■二k,(其中k为有限数，或+8,或-8),则・■二■.证明：令g(x)二x・，则？埜X?叟a,有g(x+1)>g(x)VBg(x)二■x・=+°°,f,g在[a,+°°)上有定义，内

6、闭有界。・・・■■=■■且■■二k由定理3得・■=■■=■(且k为有限数，或+8,或-8)例7若f在[a,+8)上有定义，内闭有界，则1)aa=a[f(x+i)-f(x)]；2)a[f(x>]■=■■.其中f(x)?叟0,当右极限存在时成立。证明：1)令g(X)二X,?埜+°°),有g(x+1)二x+1,且g(x+1)?叟g(x),*/Hg(x)二・x二+°°,且f,g在[a,+s)上有定义，内闭有界，■■二・[f(x+1)-f(x)];由定理3得・・二・[f(x+1)-f(x)].2)令g(x)=x,F(x)=ln[f(x)],(f(x)?

7、叟c>0)•・•■■二■■二・{ln[f(x+1)]-ln[f(x)]}二■二In"而■■二■■二■ln[f(x)]■二ln・[f(x)]■由定理3得・[f(x)]■=■■.参考文献：[1]钱吉林•数学分析题解精粹[M].武汉：崇文书局出版社，2003.[2]吉米多维齐•数学分析习题集解题[M]•山东：山东科学技术出版，2004.[3]华东师大数学系编•数学分析（上）（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003.