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《沪教版九年级下册244实数与向量相乘及向量的线性运算知识讲解讲义》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、实数与向量相乘及向量的线性运算(提高)知识讲解【学习目标】1.理解实数与向量相乘的定义及向量数乘的运算律；2.对于给定的一个非零实数和一个非零向量，能画出它们相乘所得的向量;3.认识两个平行向量的代数表达形式；4.在向量的线性运算和平行向量定理的学习与应用中体会代数与儿何的联系.【要点梳理】要点一.实数与向量相乘1.实数与向量相乘的意义:一般地，设舁为正整数，：为向量，我们用加表示n个方相加；用一加表示〃个—：相加•又新为正整数时,讣表示与：同向且长度时
2、a
3、的向量.要点诠释：设P为一个正数，1虫就是将Q的
4、长度进行放缩，而方向保持不变；-PQ也就是将°的长度进行放缩，但方向相反.2.向量数乘的定义一般地，实数与向量方的相乘所得的积是一个向量，记作ka,它的长度与方向规定如下：(1)如果k^O,Sa^O时，贝】J：①辰的长度:伙q
5、二伙
6、
7、q
8、；②的方向：当£>0时,时，ka与q反方向；(2)如果k=0,或狂0时,则：ka=Of£方的方向任意.实数£与向量方相乘，叫做向量的数乘.要点诠释：(1)向量数乘结果是一个与已知向量平行(或共线)的向量;(2)实数与向量不能进行加减运算；(4)£方表示向量的数乘运算，书写
9、时应把实数写在向量前面且省略乘号，注意不要将表示向量的箭头写在数字上面；(5)向塑的数乘体现儿何图形中的位置关系和数量关系.3.实数与向量的相乘的运算律：设加、〃为实数,则:(1)m{na)={mn)a(结合律)；(2)(m-^n)a=ma--na(向量的数乘对于实数加法的分配律)；(3)m(tz+b)+(向量的数乘对于向量加法的分配律)要点二.平行向量定理1.单位向量：长度为1的向量叫做单位向量.要点诠释：任意非零向量a与它同方向的单位向量的关系：a=aa0,a()=-La.a2.平行向量定理：如果向量
10、B与非零向量丘平行，那么存在唯一的实数m,使b=ma.要点诠释:b__(1)定理屮，
11、m
12、==,m的符号由b与a同向还是反向来确定.a(2)定理中的“a^O”不能去掉，因为若a=0,必有b=0,此时m可以収任意实数,使得B=ma成立.(1)向量平行的判定定理：a是一个非零向量，若存在一个实数m,使b=ma,则向量B与非零向量2平行.(2)向量平行的性质定理：若向量6与非零向量A平行，则存在一个实数m,使b=ma.(3)A、B、C三点的共线o雨〃航o若存在实数入，使AB=2BC.要点三、向量的线性运算1.向量
13、的线性运算定义：向量的加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算.要点诠释：(1)如果没有括号，那么运算的顺序是先将实数与向量相乘，再进行向量的加减.(2)如果有括号，则先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行.2.向量的分解：平面向量基本定理：如果石，&是同一平而内两个不共线(或不平行)的向量，那么对于这一平面内的任一向量方，有且只有一对实数人，人，使得方二人石+易要点诠释：(1)同一平面内两个不共线(或不平行)向量石，&叫做这一平面内所有向塑的一组基底.一组基底中，必不含有
14、零向量.(2)一个平面向量用一组基底石表示为方=人玄+入瓦形式，叫做向量的分解，当石,瓦相互垂直吋，就称为向量的正分解.(3)以平而内任意两个不共线的向量为一组基底，该平面内的任意一个向量都可表示成这组基底的线性组合，基底不同，表示也不同.3.用向量方法解决平面几何问题：(1)利用已知向量表示未知向量用已知向量来表示另外一些向量，除利用向量的加、减、数乘运算外，还应充分利用平面儿何的一些定理，因此在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，利用三角形屮位线、相似三角形对应边成比例等平而儿何的性质，把未知向
15、量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解.(2)用向量方法研究平面几何的问题的“三步曲”：①建立平面几何与向量的联系，将平面几何问题转化为向量问题.②通过向量运算，研究几何元素的关系.③把运算结果“翻译”成儿何关系.【典型例题】类型一、实数与向量相乘1.当AgZ时，求证：2(d+b)二+【答案与解析】证明：当久二0时，左边二0・(q+5)二0,右边=0*a+0*b=0,等式成立；当2为正整数时，令A=则有：n(a+b)二(a+b)+(a+b)+・・・+(tz+b)=a+a+・・・+a+b+b+b+•••+/
16、?=na+nb即久为正整数时，等式成立；当为负整数时，令久二-戸(,7为正整数)，则有：-n{a+b)二〃[一(d+b)]二〃[(-d)+(—b)]=77(一。)+〃(一b)=-na+(—nb)~na-nb,等式成立;综上所述，当2为整数时,A(a+b)=Aa+Ab恒成立【总结升华】本题是“向量的数乘对于向量加法的分配律”的求证过程，用到了数乘的意义及向量加法的交换律.如图，已知点D、E分别在△做的边gAC上，D
