【硕士论文】一类拟线性椭圆方程解的存在性问题.pdf

《【硕士论文】一类拟线性椭圆方程解的存在性问题.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、摘要摘要本文主要考虑拟线性椭圆方程z哪∥勺U蜒R(1．I)，●J、●＼U}∈"Ⅳ卜×№双～畎lI动以．f砖qr⋯‰一∞的非平凡解的存在性问题．其中k>0是常数，4≤Po，使得．1．imy(z)=％，y@)≥K；lZ卜_too(K)存在正的常数c，7n，‰，使得m)一K≥南，lzI≥吼·本文共分为四章．第一章，介绍临界点理论的一些基本知识，基本引理以及一些记号说明．第二章，运用Nehari方法讨论方程(1．1)，并得到一个非平凡正解的存在性结果；第三章，讨论了方程(1．1)在满足Ⅵ、(比)

2、、(％)的条件下，变号解的存在性结果．第四章，讨论在群G作用下不变的椭圆方程r蚪时七A扎(倒u2)u(=∽f@∥L蜒则解的存在性情况．其中，(z，¨)是超线性和次临界函数，且在群G作用下不变，即，厂(9．E，f，)一，(上，t正)，Vg∈G，z∈Ⅱ毫N．关键词；拟线性椭圆方程；变分法；非甲凡解；正解；变号解中文文摘中文文摘在数学、物理学，生物学、医学和控制论等诸多科学领域中出现了各种各样的非线性问题，且在解决这些非线性问题的过程中，逐渐形成了现代分析中一个非常重要的分支一非线性泛函分析．它主要包括变分法，不动点方法和拓扑度方法等内容，为解决当今科技领域中层出不穷的非线性问题提供了富有成效的理论

3、工具，尤其在处理应用科学提出的各种非线性问题中发挥着不可替代的作用．目前实际问题中不断涌现出大量的非线性微分方程问题，需要人们深入研究，在这一过程的非线性分析中，变分法已经一次又一次地被证明是解决微分方程初值问题的强有力的工具之一．微分方程中的变分法是把微分方程边值问题化为变分问题，以便运用分析的方法考虑方程解的存在性、解的个数及求其近似解的方法。即将研究方程的解转化为该微分方程所对应的能世泛函(EuleroLagrange泛函)的临界点，其中微分方程的弱解就是其临界点，于是寻找泛函的临界点成为解决问题关键所在．迄今为止经过许多数学工作者长期努力的研究，这种分析方法逐渐形成了一个解决非线性问题

4、的数学方法一变分法．本文正是运用这种变分法考虑一类拟线性椭圆方程非平凡正解、变号解的存在性问题．我们的方法和技巧主要是受文【1，2，9，11】的启发．本文主要考虑拟线性椭圆方程：f一“Ⅳ+¨+k(u2)Ⅳu=y(z)IuIp一2u，名∈R(1．1)【¨∈111(R)，让(z)一0，M_O。的非甲凡解的存在性问题．其中k>0是常数，4≤P<∞，函数v(x)满足下面条件：(Ⅵ)v(x)是一个正的，有界的且局部HOlder连续函数；(K)存在K>0，使得．]．ilnv(x)=K，v(x)≥Vo；l罩I·o∞(¨)存在正的常数G，m，‰，使得¨∞“≥斋，川≥％本文共分为四章．第一章，一些预备知识，通过

5、介绍临界点理论的一些基本知识，基本引理以及‘蝗记号说叨，以便后面各’啦节的应用．III福建师范大学李文明硕士学位论文第二章，这一章主要是运用Nehari方法讨论方程(1．1)，并得到一个非平凡正解的存在性结果．这个方程的困难主要有两点t(1)涉及到二阶空间导数的非线性项．在变分法中，导致这种困难的就是下面的4阶齐次且非凸的非线性泛函圣(牡)=／I∥12让2(2)缺乏紧性问题，因为我们常常在整个无界区域，如酞N上考虑问题的．不过，我们给出了条件(K)、(K)以及一些引理，克服了上述两点困难，得到如下结论：定理2．1．1假设v(x)满足条件(M)、(K)，七是—个大于0的常数，4≤P<。o．则问题

6、(1．1)至少存在—个正解．第三章，我们研究的是方程(1．1)在满足(Ⅵ)、(％)、(％)的条件下，变号解的存在性结果．我们先定义函数必归l牟裳瑚喇，l-o，如果乱=0和集合丙={仳∈胃1(R)11．q(u士)一1I<去)并在集合丙上考虑极小问题，从而得到结论。定理3．1．1假设y(x)满足条件(Ⅵ)、(K)，(K)，则方程(1．1)至少存在—对变号解．第四章，讨论在群G作用下不变的椭圆方程{—·△t‘+tt—卜‘：会竺‘2。，)，,r。L(--R-_，。f)‘：￡’1‘’’IE∈则解的存在性情况．其中，(：F，让)是超线性和次临界函数，且在群G作用下不变，即，，(gz，牡)=f(z，牡)，坳

7、∈G，z∈RNIV绪论0．1研究背景及已有结果变分法是人们理解数学及其在自然科学领域的应用的重要工具之一．其根本原因在于变分法不仅可以用来解决许多重要的具体问题，更重要的是变分法所蕴含的原理一变分原理，是非常普遍的自然法则，来自物理、生物、经济、工程等不同分支的许多自然现象都服从这一法则．描述来自不同背景的自然现象，可以归结为许多非线性微分方程的求解问题．而这毪方程的求解从抽象的观点去考察，可以归