2015年江苏徐州中考数学

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2015年江苏徐州中考数学一、选择题（共8小题；共40分）1.−2的倒数是______A.2B.−2C.12D.−122.下列四个几何体中，主视图为圆的是______A.B.C.D.3.下列运算正确的是______A.3a2−2a2=1B.a23=a5C.a2⋅a4=a6D.3a2=6a24.使x−1有意义的x的取值范围是______A.x≠1B.x≥1C.x>1D.x≥05.一只不透明的袋子中装有4个黑球、2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是______A.至少有1个球是黑球B.至少有1个球是白球C.至少有2个球是黑球D.至少有2个球是白球6.下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是______A.直角三角形B.正三角形C.平行四边形D.正六边形7.如图，菱形中，对角线AC，BD交于点O，E为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OE的长等于______A.3.5B.4C.7D.148.若函数y=kx−b的图象如图所示，则关于x的不等式kx−3−b>0的解集为______第9页（共9页） A.x<2B.x>2C.x<5D.x>5二、填空题（共10小题；共50分）9.4的算术平方根______．10.杨絮纤维的直径约为0.0000105 m，该直径用科学记数法表示为______．11.小丽近6个月的手机话费（单位：元）分别为18，24，37，28，24，26．这组数据的中位数是______元．12.若正多边形的一个内角等于140∘，则该正多边形的边数是______．13.已知关于x的方程x2−23x−k=0有两个相等的实数根，则k的值为______．14.如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，若∠C=20∘，则∠CDA=______．15.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC，若∠CAB=22.5∘，CD=8 cm，则⊙O的半径为______cm．16.如图，在△ABC中，∠C=31∘，∠ABC的平分线BD交AC于点D，如果DE垂直平分BC，那么∠A=______．17.如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，第n个正方形的边长为______．第9页（共9页） 18.用一个圆心角为90∘，半径为4的扇形围成一个圆锥的侧面，该圆锥底面圆的半径______．三、解答题（共10小题；共130分）19.计算：（1）−4−20150+12−1−32；（2）1+1a÷a2−1a．20.（1）解方程：x2−2x−3=0；（2）解不等式组：x−1>2,x+2<4x−1.21.小明参加某网店的“翻牌抽奖”活动，如图，4张牌分别对应价值5，10，15，20（单位：元）的4件奖品．（1）如果随机翻1张牌，那么抽中20元奖品的概率为______．（2）如果随机翻2张牌，且第一次翻过的牌不再参加下次翻牌，则所获奖品总值不低于30元的概率为多少?22.某校分别于2012年、2014年随机调查相同数量的学生，对数学课开展小组合作学习的情况进行调查（开展情况分为较少、有时、常常、总是四种），绘制成部分统计图如下，请根据图中信息，解答下列问题：（1）a=______，b=______，“总是”对应阴影的圆心角为______；（2）请你补全条形统计图；（3）若该校2014年共有1200名学生，请你统计其中认为数学课“总是”开展小组合作学习的学生有多少名?第9页（共9页） （4）相比2012年，2014年数学课开展小组合作学习的情况有何变化?23.如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，且AE=DF，∠A=∠D，AB=DC．（1）求证：四边形BFCE是平行四边形；（2）若AD=10，DC=3，∠EBD=60∘，则BE=______时，四边形BFCE是菱形．24.某超市为促销，决定对A，B两种商品进行打折出售．打折前，买6件A商品和3件B商品需要54元，买3件A商品和4件B商品需要32元；打折后，买50件A商品和40件B商品仅需364元，打折后比打折前少花多少钱?25.如图，平面直角坐标系中，将含30∘的三角尺的直角顶点C落在第二象限．其斜边两端点A，B分别落在x轴、y轴上，且AB=12 cm．（1）若OB=6 cm．（i）求点C的坐标；（ii）若点A向右滑动的距离与点B向上滑动的距离相等，求滑动的距离；（2）点C与点O的距离的最大值______cm．26.如图，在矩形OABC中，OA=3，OC=5，分别以OA，OC所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，D是边CB上的一个动点（不与C，B重合），反比例函数y=kxk>0的图象经过点D且与边BA交于点E，连接DE．（1）连接OE，若△EOA的面积为2，则k=______；（2）连接CA，DE与CA是否平行?请说明理由；（3）是否存在点D，使得点B关于DE的对称点在OC上?若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．第9页（共9页） 27.为加强公民的节水意识，合理利用水资源．某市对居民用水实行阶梯水价，居民家庭每月用水量划分为三个阶梯，一、二、三级阶梯用水的单价之比等于1:1.5:2．下图折线表示实行阶梯水价后每月水费y（元）与用水量x m3之间的函数关系．其中线段AB表示第二级阶梯时y与x之间的函数关系．（1）写出点B的实际意义；（2）求线段AB所在直线的表达式．（3）某户5月份按照阶梯水价应缴水费102元，其相应用水量为多少立方米?28.如图，在平面直角坐标系中，点A10,0，以OA为直径在第一象限内作半圆，B为半圆上一点，连接AB并延长至C，使BC=AB，过C作CD⊥x轴于点D，交线段OB于点E，已知CD=8，抛物线经过O，E，A三点．（1）∠OBA=______．（2）求抛物线的函数表达式．（3）若P为抛物线上位于第一象限内的一个动点，以P，O，A，E为顶点的四边形面积记作S，则S取何值时，相应的点P有且只有3个?第9页（共9页） 答案第一部分1.D2.C3.C4.B5.A6.B7.A8.C第二部分9.210.1.05×10−511.2512.913.−314.125∘15.4216.87∘17.2n−118.1第三部分19.（1）原式=4−1+2−3=5−3=2.      （2）原式=a+1a⋅aa+1a−1=1a−1.20.（1）因式分解得：x+1x−3=0.即x+1=0或x−3=0,解得x1=−1,x2=3.      （2）由x−1>2得：x>3.由x+2<4x−1得：x>1.∴不等式组的解集为：x>3．21.（1）25%      （2）画树状图如图：∵所获奖品总值不低于30元有4种情况：30元、35元、30元、35元，∴所获奖品总值不低于30元的概率为4÷12=412=13．22.（1）19%；20%；144∘      （2）补全统计图如图：      （3）1200×80200=480（人）．第9页（共9页） 答：数学课“总是”开展小组合作学习的学生有480名．      （4）相比2012年，2014年数学课开展小组合作学习情况有所好转．23.（1）∵AB=DC，∴AC=DB，在△AEC和△DFB中，AC=DB,∠A=∠D,AE=DF,∴△AEC≌△DFB（SAS），∴BF=EC，∠ACE=∠DBF，∴EC∥BF，∴四边形BFCE是平行四边形．      （2）424.设打折前A商品的单价为x元，B商品的单价为y，根据题意得6x+3y=54,3x+4y=32,解得x=8,y=2,则打折前需要50×8+40×2=480（元），打折后比打折前少花480−364=116（元）．答：打折后比打折前少花116元．25.（1）C作y轴的垂线，垂足为D，如图．在Rt△AOB中，AB=12，OB=6，∴∠BAO=30∘，∠ABO=60∘，又∠CAB=30∘，∴∠CBA=60∘，BC=OB=6．∴∠CBD=60∘，∠BCD=30∘，∴BD=3，CD=33．所以点C的坐标为−33,9．（ii）设点A向右滑动的距离为x，根据题意得点B向动的距离也为x，如图．AO=12×cos∠BAO=12×cos30∘=63．∴AʹO=63−x，BʹO=6+x，AʹBʹ=AB=12．在Rt△AʹOBʹ中，由勾股定理得63−x2+6+x2=122,解得x=63−1或x=0舍∴滑动的距离为63−1．      （2）1226.（1）4      （2）AC，如图．设Dx,5，E3,53x，则BD=3−x，BE=5−53x，BDBE=3−x5−53x=35，BCAB=35，∴BDBE=BCAB，∴△BDE∽△BCA，第9页（共9页） ∴∠BDE=∠BCA，∴DE∥AC．      （3）假设存在点D满足条件．设Dx,5，E3,53x，则CD=x，BD=3−x，BE=5−53x，AE=53x．EF⊥OC，垂足为F，如图．易证△BʹCD∽△EFBʹ，∴BʹEBʹD=BʹFCD，即5−53x3−x=BʹFx，∴BʹF=53x，∴OBʹ=BʹF+OF=BʹF+AE=53x+53x=103x，∴CBʹ=OC−OBʹ=5−103x．在Rt△BʹCD中，CBʹ=5−103x，CD=x，BʹD=BD=3−x，由勾股定理得，CBʹ2+CD2=BʹD2，即5−103x2+x2=3−x2，解这个方程得，x1=1.5（舍去），x2=0.96，∴满足条件的点D存在，D的坐标为D0.96,5．27.（1）图中B点的实际意义表示当用水25 m3时，所交水费为90元．      （2）设第一阶梯用水的单价为x 元/m3，则第二阶梯用水单价为1.5x 元/m3，设Aa,45，则ax=45,ax+1.5x25−a=90,解得a=15,x=3.∴A15,45，设线段AB所在直线的表达式为y=kx+b，则45=15k+b,90=25k+b,解得k=92,b=−452.∴线段AB所在直线的表达式为y=92x−452．      （3）设该户5月份用水量为x m3x>25，由第（2）知第三阶梯水的单价为6 元/m3，则根据题意得90+6x−25=102,解得，x=27.答：该用户5月份用水量为27 m3．28.（1）90∘      （2）OC，如图所示．∵由（1）知OB⊥AC，又AB=BC，∴直线OB是AC的垂直平分线，∴OC=OA=10，在Rt△OCD中，OC=10，CD=8，∴OD=6，∴C6,8，B8,4，∴OB所在直线的函数关系为y=12x．又E点的横坐标为6，第9页（共9页） ∴E点纵坐标为3，即E6,3．抛物线过O0,0，E6,3，A10,0，∴设此抛物线的函数关系式为y=axx−10，把E点坐标代入得3=6a6−10,解得a=−18.∴此抛物线的函数关系式为y=−18xx−10，即y=−18x2+54x．      （3）设点Pp,−18p2+54p．P在CD的左侧，延长OP交CD于Q，如图．OP所在直线函数关系式为y=−18p+54x，∴当x=6时，y=−34p+152，即Q点纵坐标为−34p+152，∴QE=−34p+152−3=−34p+92，S四边形POAE=S△OAE+S△OPE=S△OAE+S△OQE−S△PQE=12⋅OA⋅DE+12⋅QE⋅Px=12×10×3+12⋅−34p+92⋅p=−38p2+94p+15.P在CD的右侧，延长AP交CD于Q，如图，Pp,−18p2+54p，A10,0．∴设AP所在直线方程为：y=kx+b，把P和A坐标代入得10k+b=0,pk+b=−18p2+54p,解得k=−18p,b=54p,∴AP所在直线方程为：y=−18px+54p，∴当x=6时，y=−18p⋅6+54p=12p，即Q点纵坐标为12p，∴QE=12p−3，∴S四边形PEOA=S△OAE+S△APE=S△OAE+S△AQE−S△PQE=12⋅OA⋅DE+12⋅QE⋅DA−12⋅QE⋅Px−6=12×10×3+12⋅QE⋅DA−Px+6=15+12⋅12p−3⋅10−p=−14p2+4p=−14p−82+16,∴当P在CD右侧时，四边形POAE的面积最大值为16，此时点P的位置就一个，令−38p2+94p+15=16，解得，p=3±573，∴当P在CD左侧时，四边形POAE的面积等于16的对应P的位置有两个，综上所知，以P，O，A，E为顶点的四边形面积S等于16时，相应的点P有且只有3个．第9页（共9页）