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时间:2019-01-23
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1、2015-2016学年山东省青岛市城阳第一高级中学高三上学期期中考试数学(理)一、选择题(共10小题;共50分)1.集合A=y∈Ry=lgx,x>1,B=−2,−1,1,2,则下列结论正确的是______A.A∩B=−2,−1B.∁RA∪B=−∞,0C.A∪B=0,+∞D.∁RA∩B=−2,−12.若a=log20.9,b=3−13,c=1312,则______A.a
2、4.若函数fx=3sinωx+cosωx,x∈R,又fα=−2,fβ=0,且α−β的最小值为3π4,则正数ω的值是______A.13B.23C.43D.235.曲线y=e12x在点4,e2处的切线与坐标轴所围三角形的面积为______A.92e2B.4e2C.2e2D.e26.函数fx=loga6−ax在0,2上为减函数,则a的取值范围是______A.0,1B.1,3C.1,3D.3,+∞7.把函数fx=sin2x−2sinxcosx+3cos2x的图象沿x轴向左平移mm>0个单位,所得函数gx的图象关于直线x=π8对称,
3、则m的最小值为______A.π4B.π3C.π2D.3π48.由直线x=12,x=2,曲线y=1x及x轴所围成图形的面积为______A.154B.2ln2C.12ln2D.1749.下图是函数fx=x2+ax+b的部分图象,则函数gx=lnx+fʹx的零点所在的区间是______A.14,12B.1,2C.12,1D.2,310.已知函数fx=x3+ax2+bx+c,在定义域−2,2上表示的曲线过原点,且在x=±1处的切线斜率均为−1.有以下命题:第7页(共7页)①fx是奇函数;②若fx在s,t内递减,则t−s的最大值为4
4、;③fx的最大值为M,最小值为m,则M+m=0;④若对∀x∈−2,2,k≤fʹx恒成立,则k的最大值为2,其中正确命题的个数为______A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题(共5小题;共25分)11.已知定义在R上的可导函数y=fx的图象在点M1,f1处的切线方程为y=−12x+2,则f1+fʹ1=______.12.若tanα=2,则sinαcosα=______.13.已知函数fx=x3+1−ax2−aa+2xa∈R在区间−2,2上不单调,则a的取值范围是______.14.实数x满足log3x=1+sinθ,则x
5、−1+x−9的值为______.15.如图,平行四边形ABCD中,AB=2,AD=1,∠A=60∘,点M在AB边上,且AM=13AB,则DM⋅DB等于______.三、解答题(共6小题;共78分)16.已知a=2,b=1,2a−3b⋅2a+b=9.(1)求向量a与b的夹角θ;(2)求a+b及向量a在a+b方向上的投影.17.设命题p:函数fx=lgax2−x+a16的定义域为R;命题q:3x−9x6、,−1.令fx=a⋅b.(1)求fx的最小正周期及单调增区间.(2)若f14θ=23,且θ∈π6,5π6,求cosθ的值.(3)当x∈π4,π2时,求fx的最小值以及取得最小值时x的值.19.在三角形ABC中,设角A,B,C的对边分别为a,b,c,角A,B,C满足ccosB=2a−bcosC.(1)求角C的大小;(2)若△ABC是锐角三角形,求函数y=2sinB−cos2B的值域;(3)在三角形ABC中,若c=1,求△ABC周长的范围.20.设函数fx=ax2+lnx,gx=x3−x2−3.(1)讨论函数fx的单调性;第7页(7、共7页)(2)如果对于任意的x1,x2∈13,2,都有x1⋅fx1≥gx2成立,试求实数a的取值范围.21.已知函数fx=x2+ax−lnx,a∈R.(1)若函数fx在1,2上是减函数,求实数a的取值范围;(2)令gx=fx−x2,是否存在实数a,当x∈0,e(e是自然常数)时,函数gx的最小值是3,若存在,求出a的值;若不存在,说明理由;(3)当x∈0,e时,证明:e2x2−52x>x+1lnx.第7页(共7页)答案第一部分1.D2.B3.C4.B5.D6.B7.A8.B9.C10.B第二部分11.112.2513.−8,−8、12∪−12,414.815.1第三部分16.(1)因为a=2,b=1,2a−3b⋅2a+b=9所以4a2−4a⋅b−3b2=9,所以4×22−8cosθ−3=9,所以cosθ=12.因为θ∈0,π,所以θ=π3. (2)由(1)知a⋅b=abcosθ=2×1×12
6、,−1.令fx=a⋅b.(1)求fx的最小正周期及单调增区间.(2)若f14θ=23,且θ∈π6,5π6,求cosθ的值.(3)当x∈π4,π2时,求fx的最小值以及取得最小值时x的值.19.在三角形ABC中,设角A,B,C的对边分别为a,b,c,角A,B,C满足ccosB=2a−bcosC.(1)求角C的大小;(2)若△ABC是锐角三角形,求函数y=2sinB−cos2B的值域;(3)在三角形ABC中,若c=1,求△ABC周长的范围.20.设函数fx=ax2+lnx,gx=x3−x2−3.(1)讨论函数fx的单调性;第7页(
7、共7页)(2)如果对于任意的x1,x2∈13,2,都有x1⋅fx1≥gx2成立,试求实数a的取值范围.21.已知函数fx=x2+ax−lnx,a∈R.(1)若函数fx在1,2上是减函数,求实数a的取值范围;(2)令gx=fx−x2,是否存在实数a,当x∈0,e(e是自然常数)时,函数gx的最小值是3,若存在,求出a的值;若不存在,说明理由;(3)当x∈0,e时,证明:e2x2−52x>x+1lnx.第7页(共7页)答案第一部分1.D2.B3.C4.B5.D6.B7.A8.B9.C10.B第二部分11.112.2513.−8,−
8、12∪−12,414.815.1第三部分16.(1)因为a=2,b=1,2a−3b⋅2a+b=9所以4a2−4a⋅b−3b2=9,所以4×22−8cosθ−3=9,所以cosθ=12.因为θ∈0,π,所以θ=π3. (2)由(1)知a⋅b=abcosθ=2×1×12
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