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1、2015-2016学年山东省青岛市城阳第一高级中学高三上学期期中考试数学(文)一、选择题(共10小题;共50分)1.集合A=xx2−2x>0,B=yy=2x,x>0,R是实数集,则∁RB∪A等于______A.RB.−∞,0∪1,+∞C.0,1D.−∞,1∪2,+∞2.已知a=1,2,b=x,1,若a与a−b共线,则实数x=______A.−12B.12C.1D.23.函数y=x22−x+lg2x+1的定义域是______A.−12,+∞B.−12,2C.−12,12D.−∞,−124.已知角α的终边经过点P−1,
2、2,则tanα+π4的值是______A.3B.−3C.13D.−135.已知函数fx=log21−x,x≤0,ax,x>0.若f1=f−1,则实数a的值等于______A.1B.2C.3D.46.在△ABC中,C=90∘,且CA=CB=3,点M满足BM=2MA,则CM⋅CB等于______A.3B.4C.5D.67.过原点作曲线y=lnx的切线,则切线斜率为______A.e2B.1e2C.eD.1e8.下列命题错误的是______A.命题“若x2+y2=0,则x=y=0”的逆否命题为“若x,y中至少有一个不为0
3、,则x2+y2≠0”B.若命题p:∃x0∈R,x02−x0+1≤0,则¬p:∀x∈R,x2−x+1>0C.若向量a,b满足a⋅b<0,则a与b的夹角为钝角D.△ABC中,sinA>sinB是A>B的充要条件9.若函数fx=logax+b的大致图象如图,其中a,b为常数,则函数gx=a−x+b的大致图象是______第6页(共6页)A.B.C.D.10.若不等式tt2+9≤a≤t+2t2在t∈0,2上恒成立,则a的取值范围是______A.213,1B.16,413C.16,1D.213,22二、填空题(共5小题;共
4、25分)11.已知数列an的前n项和Sn=n2+n,则an=______.12.函数fx=2sinωx+φ(ω>0,φ<π2)的图象,其部分图象如图所示,则fx=______.13.已知函数fx=log2x+x−2的零点在区间n,n+1n∈Z内,则n=______.14.已知函数fx满足f−x=fx,当a,b∈−∞,0时总有fa−fba−b>0a≠b,若fm+1>f2m,则实数m的取值范围是______.15.有下列命题:第6页(共6页)①y=cosx−π4cosx+π4的图象关于直线x=π2对称;②y=x+3x−
5、1的图象关于点−1,1对称;③关于x的方程ax2−2ax−1=0有且仅有一个实根,则a=−1;④满足条件AC=3,∠B=60∘,AB=1的三角形△ABC有两个.其中真命题的序号是______.三、解答题(共6小题;共78分)16.已知a=2,b=1,2a−3b⋅2a+b=9.(1)求向量a与b的夹角θ;(2)求a+b及向量a在a+b方向上的投影.17.已知等差数列an满足:a5=11,a2+a6=18.(1)求数列an的通项公式;(2)若bn=an+2n,求数列bn的前n项和Sn.18.已知向量m=2cosωx,−
6、1,n=sinωx−cosωx,2ω>0,函数fx=m⋅n+3,若函数fx的图象的两个相邻对称中心的距离为π2.(1)求函数fx的单调增区间;(2)若将函数fx的图象先向左平移π4个单位,然后纵坐标不变,横坐标缩短为原来的12倍,得到函数gx的图象,当x∈π4,π2时,求函数gx的值域.19.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,bcosC=a−12c.(1)求角B的大小;(2)若b=1,求a+c的最大值.20.设函数fx=ax2+lnx,gx=x3−x2−3.(1)讨论函数fx的单调性;(2)如果对于
7、任意的x1,x2∈13,2,都有x1⋅fx1≥gx2成立,试求实数a的取值范围.21.设函数fx=lnx+mx,m∈R.(1)当m=e(e为自然对数的底数)时,求fx的极小值;(2)讨论函数gx=fʹx−x3零点的个数;(3)若对任意b>a>0,fb−fab−a<1恒成立,求m的取值范围.第6页(共6页)答案第一部分1.D2.B3.B4.D5.A6.A7.D8.C9.A10.A第二部分11.2n12.2sinx−π413.114.m<−13或m>115.①③第三部分16.(1)因为a=2,b=1,2a−3b⋅2a+
8、b=9所以4a2−4a⋅b−3b2=9,所以4×22−8cosθ−3=9,所以cosθ=12.因为θ∈0,π,所以θ=π3. (2)由(1)知a⋅b=abcosθ=2×1×12=1,所以a⋅a+b=a2+a⋅b=4+1=5.所以a+b=a2+b2+2a⋅b=4+1+2=7.向量a在a+b方向上的投影为acosa,a+b=a⋅a+ba+b=57=57