全国初中数学竞赛辅导(初2)第23讲 几何不等式.doc

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1、第二十三讲几何不等式  平面图形中所含的线段长度、角的大小及图形的面积在许多情形下会呈现不等的关系.由于这些不等关系出现在几何问题中,故称之为几何不等式.  在解决这类问题时,我们经常要用到一些教科书中已学过的基本定理,本讲的主要目的是希望大家正确运用这些基本定理,通过几何、三角、代数等解题方法去解决几何不等式问题.这些问题难度较大,在解题中除了运用不等式的性质和已经证明过的不等式外,还需考虑几何图形的特点和性质.  几何不等式就其形式来说不外乎分为线段不等式、角不等式以及面积不等式三类,在解题中不仅要用到一些有关的几何不等式的基本定理,还需用到一些图形

2、的面积公式.下面先给出几个基本定理.  定理1在三角形中,任两边之和大于第三边,任两边之差小于第三边.  定理2同一个三角形中,大边对大角,小边对小角,反之亦然.  定理3在两边对应相等的两个三角形中,第三边大的,所对的角也大,反之亦然.  定理4三角形内任一点到两顶点距离之和,小于另一顶点到这两顶点距离之和.  定理5自直线l外一点P引直线l的斜线,射影较长的斜线也较长,反之,斜线长的射影也较长.  说明如图2-135所示.PA,PB是斜线,HA和HB分别是PA和PB在l上的射影,若HA>HB,则PA>PB;若PA>PB,则HA>HB.事实上,  由勾

3、股定理知PA2-HA2=PH2=PB2-HB2,  所以PA2-PB2=HA2-HB2.  从而定理容易得证.  定理6在△ABC中,点P是边BC上任意一点,则有PA≤max{AB,AC},  当点P为A或B时等号成立.  说明max{AB,AC}表示AB,AC中的较大者,如图2-136所示,若P在线段BH上,则由于PH≤BH,由上面的定理5知PA≤BA,从而PA≤max{AB,AC}.  同理,若P在线段HC上,同样有PA≤max{AB,AC}.  例1在锐角三角形ABC中,AB>AC,AM为中线,P为△AMC内一点,证明:PB>PC(图2-137).

4、  证在△AMB与△AMC中,AM是公共边,BM=MC,且AB>AC,由定理3知,∠AMB>∠AMC,所以∠AMC<90°.  过点P作PH⊥BC,垂足为H,则H必定在线段BM的延长线上.如果H在线段MC内部,则BH>BM=MC>HC.  如果H在线段MC的延长线上,显然BH>HC,所以PB>PC.   例2已知P是△ABC内任意一点(图2-138).  (1)求证:<a+b+c;  (2)若△ABC为正三角形,且边长为1,求证:PA+PB+PC<2.  证(1)由三角形两边之和大于第三边得  PA+PB>c,PB+PC>a,PC+PA>b.把这三个不等

5、式相加,再两边除以2,便得  又由定理4可知PA+PB<a+b,PB+PC<b+c,PC+PA<c+a.  把它们相加,再除以2,便得PA+PB+PC<a+b+c.  所以  (2)过P作DE∥BC交正三角形ABC的边AB,AC于D,E,如图2-138所示.于是PA<max{AD,AE}=AD,PB<BD+DP,PC<PE+EC,  所以PA+PB+PC<AD+BD+DP+PE+EC=AB+AE+EC=2.  例3如图2-139.在线段BC同侧作两个三角形ABC和DBC,使得AB=AC,DB>DC,且AB+AC=DB+DC.若AC与BD相交于E,求证:A

6、E>DE.  证在DB上取点F,使DF=AC,并连接AF和AD.由已知2DB>DB+DC  =AB+AC=2AC,  所以DB>AC.  由于DB+DC=AB+AC=2AC,所以DC+BF=AC=AB.  在△ABF中,AF>AB-BF=DC.  在△ADC和△ADF中,AD=AD,AC=DF,AF>CD.  由定理3,∠1>∠2,所以AE>DE.  例4设G是正方形ABCD的边DC上一点,连结AG并延长交BC延长线于K,求证:  分析在不等式两边的线段数不同的情况下,一般是设法构造其所为边的三角形.  证如图2-140,在GK上取一点M,使GM=MK,

7、则  在Rt△GCK中,CM是GK边上的中线,所以∠GCM=∠MGC.  而∠ACG=45°,∠MGC>∠ACG,于是∠MGC>45°,  所以∠ACM=∠ACG+∠GCM>90°.  由于在△ACM中∠ACM>∠AMC,所以AM>AC.故  例5如图2-141.设BC是△ABC的最长边,在此三角形内部任选一点O,AO,BO,CO分别交对边于A′,B′,C′.证明:  (1)OA′+OB′+OC′<BC;  (2)OA′+OB′+OC′≤max{AA′,BB′,CC′}.  证(1)过点O作OX,OY分别平行于边AB,AC,交边BC于X,Y点,再过X,Y

8、分别作XS,YT平行于CC′和BB′交AB,AC于S,T.由于△OXY∽△ABC

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1、第二十三讲几何不等式  平面图形中所含的线段长度、角的大小及图形的面积在许多情形下会呈现不等的关系.由于这些不等关系出现在几何问题中,故称之为几何不等式.  在解决这类问题时,我们经常要用到一些教科书中已学过的基本定理,本讲的主要目的是希望大家正确运用这些基本定理,通过几何、三角、代数等解题方法去解决几何不等式问题.这些问题难度较大,在解题中除了运用不等式的性质和已经证明过的不等式外,还需考虑几何图形的特点和性质.  几何不等式就其形式来说不外乎分为线段不等式、角不等式以及面积不等式三类,在解题中不仅要用到一些有关的几何不等式的基本定理,还需用到一些图形

2、的面积公式.下面先给出几个基本定理.  定理1在三角形中,任两边之和大于第三边,任两边之差小于第三边.  定理2同一个三角形中,大边对大角,小边对小角,反之亦然.  定理3在两边对应相等的两个三角形中,第三边大的,所对的角也大,反之亦然.  定理4三角形内任一点到两顶点距离之和,小于另一顶点到这两顶点距离之和.  定理5自直线l外一点P引直线l的斜线,射影较长的斜线也较长,反之,斜线长的射影也较长.  说明如图2-135所示.PA,PB是斜线,HA和HB分别是PA和PB在l上的射影,若HA>HB,则PA>PB;若PA>PB,则HA>HB.事实上,  由勾

3、股定理知PA2-HA2=PH2=PB2-HB2,  所以PA2-PB2=HA2-HB2.  从而定理容易得证.  定理6在△ABC中,点P是边BC上任意一点,则有PA≤max{AB,AC},  当点P为A或B时等号成立.  说明max{AB,AC}表示AB,AC中的较大者,如图2-136所示,若P在线段BH上,则由于PH≤BH,由上面的定理5知PA≤BA,从而PA≤max{AB,AC}.  同理,若P在线段HC上,同样有PA≤max{AB,AC}.  例1在锐角三角形ABC中,AB>AC,AM为中线,P为△AMC内一点,证明:PB>PC(图2-137).

4、  证在△AMB与△AMC中,AM是公共边,BM=MC,且AB>AC,由定理3知,∠AMB>∠AMC,所以∠AMC<90°.  过点P作PH⊥BC,垂足为H,则H必定在线段BM的延长线上.如果H在线段MC内部,则BH>BM=MC>HC.  如果H在线段MC的延长线上,显然BH>HC,所以PB>PC.   例2已知P是△ABC内任意一点(图2-138).  (1)求证:<a+b+c;  (2)若△ABC为正三角形,且边长为1,求证:PA+PB+PC<2.  证(1)由三角形两边之和大于第三边得  PA+PB>c,PB+PC>a,PC+PA>b.把这三个不等

5、式相加,再两边除以2,便得  又由定理4可知PA+PB<a+b,PB+PC<b+c,PC+PA<c+a.  把它们相加,再除以2,便得PA+PB+PC<a+b+c.  所以  (2)过P作DE∥BC交正三角形ABC的边AB,AC于D,E,如图2-138所示.于是PA<max{AD,AE}=AD,PB<BD+DP,PC<PE+EC,  所以PA+PB+PC<AD+BD+DP+PE+EC=AB+AE+EC=2.  例3如图2-139.在线段BC同侧作两个三角形ABC和DBC,使得AB=AC,DB>DC,且AB+AC=DB+DC.若AC与BD相交于E,求证:A

6、E>DE.  证在DB上取点F,使DF=AC,并连接AF和AD.由已知2DB>DB+DC  =AB+AC=2AC,  所以DB>AC.  由于DB+DC=AB+AC=2AC,所以DC+BF=AC=AB.  在△ABF中,AF>AB-BF=DC.  在△ADC和△ADF中,AD=AD,AC=DF,AF>CD.  由定理3,∠1>∠2,所以AE>DE.  例4设G是正方形ABCD的边DC上一点,连结AG并延长交BC延长线于K,求证:  分析在不等式两边的线段数不同的情况下,一般是设法构造其所为边的三角形.  证如图2-140,在GK上取一点M,使GM=MK,

7、则  在Rt△GCK中,CM是GK边上的中线,所以∠GCM=∠MGC.  而∠ACG=45°,∠MGC>∠ACG,于是∠MGC>45°,  所以∠ACM=∠ACG+∠GCM>90°.  由于在△ACM中∠ACM>∠AMC,所以AM>AC.故  例5如图2-141.设BC是△ABC的最长边,在此三角形内部任选一点O,AO,BO,CO分别交对边于A′,B′,C′.证明:  (1)OA′+OB′+OC′<BC;  (2)OA′+OB′+OC′≤max{AA′,BB′,CC′}.  证(1)过点O作OX,OY分别平行于边AB,AC,交边BC于X,Y点,再过X,Y

8、分别作XS,YT平行于CC′和BB′交AB,AC于S,T.由于△OXY∽△ABC

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