全国初中数学竞赛辅导（初1）第10讲 整式的乘法与除法.doc

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1、第十讲整式的乘法与除法　　中学代数中的整式是从数的概念基础上发展起来的，因而保留着许多数的特征，研究的内容与方法也很类似．例如，整式的四则运算就可以在许多方面与数的四则运算相类比；也像数的运算在算术中占有重要的地位一样，整式的运算也是代数中最基础的部分，它在化简、求值、恒等变形、解方程等问题中有着广泛的应用．通过整式的运算，同学们还可以在准确地理解整式的有关概念和法则的基础上，进一步提高自己的运算能力．为此，本讲着重介绍整式运算中的乘法和除法．　　整式是多项式和单项式的总称．整式的乘除主要是多项式的乘除

2、．下面先复习一下整式计算的常用公式，然后进行例题分析．　　正整数指数幂的运算法则：　　(1)aM·an=aM+n；(2)(ab)n=anbn；　　(3)(aM)n=aMn；(4)aM÷an=aM-n(a≠0，m＞n)；　　　常用的乘法公式：　　(1)(a+b)(a+b)=a2-b2；　　(2)(a±b)2=a2±2ab+b2；　　　(4)(d±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3；　　　　(5)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca．　　例1求[x3-(x-1)2](x-1)展开后

3、，x2项的系数．　　解[x3-(x-1)2](x-1)=x3(x-1)-(x-1)3．因为x2项只在-(x-1)3中出现，所以只要看-(x-1)3=(1-x)3中x2项的系数即可．根据乘法公式有(1-x)3=1-3x+3x2-x3，　　所以x2项的系数为3．　　说明应用乘法公式的关键，是要理解公式中字母的广泛含义，对公式中的项数、次数、符号、系数，不要混淆，要达到正确、熟练、灵活运用的程度，这样会给解题带来极大便利．　　　　(x-2)(x2-2x+4)-x(x+3)(x-3)+(2x-1)2．　　解原式

4、=(x3-2x2+4x-2x2+4x-8)-x(x2-9)+(4x2-4x+1)　　　　　=(x3-4x2+8x-8)-(x3-9x)+(4x2-4x+1)　　　　　=13x-7=9-7=2．　　说明注意本例中(x-2)(x2-2x+4)≠x3-8．　　例3化简(1+x)[1-x+x2-x3+…+(-x)n-1]，其中n为大于1的整数．　　解原式=1-x+x2-x3+…+(-x)n-1　　　　　　　+x-x2+x3+…-(-x)n-1+(-x)n　　　　　=1+(-x)n．　　说明本例可推广为一个一般的

5、形式：(a-b)(an-1+an-2b+…+abn-2+bn-1)=an-bn．　　例4计算　　(1)(a-b+c-d)(c-a-d-b)；　　(2)(x+2y)(x-2y)(x4-8x2y2+16y4)．　　分析与解(1)这两个多项式对应项或者相同或者互为相反数，所以可考虑应用平方差公式，分别把相同项结合，相反项结合．　　原式=[(c-b-d)+a][(c-b-d)-a]=(c-b-d)2-a2　　　　=c2+b2+d2+2bd-2bc-2cd-a2．　　(2)(x+2y)(x-2y)的结果是x2-4

6、y2，这个结果与多项式x4-8x2y2+16y4相乘时，不能直接应用公式，但x4-8x2y2+16y4=(x2-4y2)2　　与前两个因式相乘的结果x2-4y2相乘时就可以利用立方差公式了．　　原式=(x2-4y2)(x2-4y2)2=(x2-4y2)3　　　　=(x2)3-3(x2)2(4y2)+3x2·(4y2)2-(4y2)3　　　　=x6-12x4y2+48x2y4-64y6．　　例5设x，y，z为实数，且(y-z)2+(x-y)2+(z-x)2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　=(y+z

7、-2x)2+(x+z-2y)2+(x+y-2z)2，　　　　解先将已知条件化简：左边=2x2+2y2+2z2-2xy-2yz-2xz，右边=6x2+6y2+6z2-6xy-6yz-6xz．　　所以已知条件变形为2x2+2y2+2z2-2xy-2yz-2xz=0，　　即　　　　　　　　　　　　　　　　(x-y)2+(x-z)2+(y-z)2=0．　　因为x，y，z均为实数，所以x=y=z．所以　　　　说明本例中多次使用完全平方公式，但使用技巧上有所区别，请仔细琢磨，灵活运用公式，会给解题带来益处．　　我们

8、把形如anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0　　(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，常用f(x)，g(x)，…表示一元多项式．　　多项式的除法比较复杂，为简单起见，我们只研究一元多项式的除法．像整数除法一样，一元多项式的除法，也有整除、商式、余式的概念．一般地，一个一元多项式f(x)除以另一个一元多项式g(x)时，总存在一个商式q(x)与一个余式r(x)，使得f(x)=g(x)q(x)+r(x)成立，其中r(x)的次数小于