版高中数学北师大版必修一学案：第四章 函数的应用 §2 实际问题的函数建模 ---精校Word版含答案

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1、www.ks5u.com§2　实际问题的函数建模学习目标　1.会利用已知函数模型解决实际问题(重点)；2.能建立函数模型解决实际问题(重、难点)．预习教材P120－129完成下列问题：知识点一　常见函数模型常用函数模型(1)一次函数模型y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)(2)二次函数模型y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)(3)指数函数模型y＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)(4)对数函数模型y＝mlogax＋n(m，a，n为常数，m≠0，a>0且a≠1)(5)幂函数模型y＝axn＋b(a，b为常数，a≠0

2、)(6)分段函数模型y＝【预习评价】1．(1)斜率k的取值是如何影响一次函数的图像和性质的？(2)在幂函数模型的解析式中，α的正负如何影响函数的单调性？提示　(1)k>0时直线必经过一、三象限，y随x的增大而增大；k<0时直线必经过二、四象限，y随x的增大而减小．(2)当x>0，α>0时，函数的图像在第一象限内是上升的，在(0，＋∞)上为增函数；当x>0，α<0时，函数的图像在第一象限内是下降的，在(0，＋∞)上为减函数．2．(1)依据散点图选择函数模型时主要依据函数的什么性质？(2)数据拟合时，得到的函数为什么需要检验？提示　(1)主要依据

3、函数的单调性及函数值增长速度的快慢．(2)因为根据已给的数据，作出散点图，根据散点图选择我们比较熟悉的、最简单的函数进行拟合，但用得到的函数进行估计时，可能误差较大或不切合客观实际，此时就要再改选其他函数模型．知识点二　解决函数应用问题的基本步骤利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：(一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原．这些步骤用框图表示如图：-10-【预习评价】1．某种放射性元素的原子数y随时间x的变化规律是y＝1024e－5x，则(　　)A．该函数是增函数B．该函数是减函数C．x＝－lgD．当x＝0时，y

4、＝1解析　显然该函数是减函数，B正确，C，D变形或求值错误．答案　B2．某物体一天内的温度T是时间t的函数T(t)＝t3－3t＋60，时间单位是h，温度单位为℃，t＝0时表示中午12：00，则上午8：00时的温度为________℃．解析　由于t＝0时表示中午12：00，则上午8：00时t＝－4，代入函数T(t)＝t3－3t＋60中，可得T(－4)＝8．答案　8题型一　一次函数、二次函数模型【例1】　某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m(件)与售价x(元)满足一次函数：m＝162－3x，若要每天获得最大的销售

5、利润，每件商品的售价应定为(　　)A．30元B．42元C．54元D．越高越好解析　设每天获得的利润为y元，则y＝(x－30)(162－3x)＝－3(x－42)2＋432，∴当x＝42时，获得利润最大，应定价为42元．答案　B规律方法　一次函数、二次函数均是重要的函数模型，特别是二次函数模型在函数建模中占有重要的地位．利用二次函数求最值时要注意取得最值时的自变量与实际意义是否相符．-10-【训练1】　某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是(　　)A．310元B．

6、300元C．290元D．280元解析　由题意可知，收入y是销售量x的一次函数，设y＝ax＋b(a≠0)，将(1,800)，(2,1300)代入，得a＝500，b＝300.当销售量为x＝0时，y＝300．答案　B题型二　指数型函数、对数型函数模型【例2】　燕子每年秋天都要从北方飞到南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5log2，单位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量．(1)计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？解　(1)由题意知，当燕子静止时，它的速度为0

7、，代入题目所给公式可得0＝5log2．解得Q＝10，即燕子静止时的耗氧量为10个单位．(2)将耗氧量Q＝80代入公式得：v＝5log2＝5log28＝15(m/s)，即当一只燕子的耗氧量为80个单位时，飞行速度为15m/s．规律方法　指数型函数模型：y＝max＋b(a>0且a≠1，m≠0)，在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题都可用指数型函数模型来表示．对数型函数模型：y＝mlogax＋c(m≠0，a>0且a≠1)，对数型函数模型一般给出函数关系式，然后利用对数的运算求解．【训练2】　某城市2009年底人口总数为100万

8、人，如果年平均增长率为1.2%，试解答以下问题：(1)写出经过x年后，该城市人口总数y(万人)与x(年)的函数关系；(2)计算10年后该城市人口总数(精确到0.1万