《微分几何》教学的教改实践感受

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1、《微分几何》教学的教改实践感受　　【摘要】微分几何是大学数学专业一门重要的专业课。结合教学经历，谈了谈对微分几何课程的一些认识和教学过程中的一些感受。　　【关键词】解析几何；教学过程；思考　　Somethinkingontheteachingprocessof“differentialgeometry”　　WANGYu-guang1LIYa-nan2　　（1.Collegeofmathematicsandcomputerscience，NingxiaUniversity，YinchuanNingxia750021，China；　

2、　2.Collegeofwangfangscienceandtechnology，HenanPolytechnicUniversity，JiaozuoHenan454000，China）　　【Abstract】Differentialgeometryisanimportantcourseforcollegestudentswhosemajorismathematics.Combinedwithteachingexperience，wegivesomethinkinganddiscussionsaboutthiscourse.　　

3、【Keywords】Differentialgeometry；Teachingprocess；Thinking　　《微分几何》是大学数学类专业学生的一门重要的专业课，是连接经典内蕴几何和现代微分流形的桥梁，也是大学阶段所有几何课程中和现代几何联系最密切的课程。结合承担本课程教学工作的经历，在此谈谈对该课程的一些认识和教学过程的一些感受。5　　1开课背景　　对数学专业的大学生来说，《微分几何》是继《解析几何》之后开设的有一门重要专业课。通常来说，大学本科生开设的《微分几何》课程有两个原因，一个是大学课程自身知识体系的需要，解析几何

4、主要以初等数学的视角研究三维空间的曲线和曲面，微分几何则借助微分工具以高等数学的视角研究空间曲线和曲面；另一个是针对部分学生将来考研继续深造学习后继课程的需要，经典微分几何主要涉及曲面的内蕴几何，而现代几何的基础则是流形，本课程就是联系二者的桥梁。对我校数学类专业学生，微分几何课程2011年之前是专业必修课，2011年之后由于培养方案和教学计划的调整变成专业选修课，现在是第五学期（即大三第一学期）开设。　　2课程内容与教材选取　　鉴于以上相关背景，本课程一般讲授经典微分几何的主要内容，即三维空间的曲线论和曲面论，主要内容包括空间

5、曲线的基本定理和空间曲面的基本形式、曲面论基本定理以及外微分和活动标架，核心是曲面论。在教材的选取上，根据我们教学改革实践中的需要和探索，近年来我们分别尝试了纪永强教授、陈维桓教授以及梅向明与黄敬之两位教授编著的三套教材。　　3教学过程发现的一些现象5　　从本课程在我校的开设情况看，选修学生还是相对较多的，远远超过同时期抽象代数和点集拓扑等同类选修课。也许其中一个重要的原因是在大学阶段的课程学习中，相对抽象代数和点集拓扑来说微分几何相对简单，没有其他两门课艰深晦涩抽象难懂。然而在具体的教学过程中，我们也发现一些有趣的现象，主要有

6、以下几个方面：　　3.1不同的教材风格和内容对学生的学习效果有明显的影响　　在过去几年的教学实践中，我们分别使用了三种不同的教材，其中纪版教材使用2年，陈版教材使用1年，梅版教材使用3年。纪版教材主要采用向量分析法讲授曲线和曲面的基本理论，内容全面，例题丰富，对于初学者来讲易于学习，并且很多地方都是一题多解，至少有一种方法是便于掌握的，因而若能将这些方法融会贯通做到举一反三则对于经典微分几何的掌握必定扎实牢固；然而该版教材与现代微分几何的衔接相对较少，现代微分几何的内容和术语体现的相对不足，在学时压缩的情况下，即使完全讲授书中过

7、于详实的内容也讲不完，更不必说还需要补充现代微分几何的一些观点和内容。陈版教材则与前者相反，较多的采用了现代微分几何的观点和术语，也普遍运用了线性代数的内容作为讲授工具，起点高，与后续微分流形等课程的衔接性强；然而对于初学者的要求相对较高，学生掌握起来难度较大有点吃力。梅版教材则介于这两者之中，内容全面，既照顾到经典微分几何主要内容，又涉及到现代微分几何的观点和内容，讲授方式以向量分析为主，便于学生接受，后期也介绍到活动标架和外微分，甚至涉及到整体微分几何的内容，教师和学生可供选择的余地也都较大，学生表现出的学习效果也较好。在我

8、们的使用过程根据考试成绩反映出来的结果看，使用梅版教材考试成绩最好，其次是纪版，而陈版教材成绩最低，这反映出不同教材对学生成绩有明显的影响。　　3.2学生的解析几何和数学分析基础对学习效果有明显的影响5　　在开始本课程的学习前，我们记录了学生的解析几何成绩和数学