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《高中数学选修2-1教案3.2立体几何中的向量方法_设计》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、3.2立体几何中的向量方法第一课时立体几何中的向量方法（1）教学要求：向量运算在几何证明与计算中的应用．掌握利用向量运算解几何题的方法，并能解简单的立体几何问题．教学重点：向量运算在几何证明与计算中的应用．教学难点：向量运算在几何证明与计算中的应用．教学过程：一、复习引入1.用向量解决立体几何中的一些典型问题的基本思考方法是：⑴如何把已知的几何条件（如线段、角度等）转化为向量表示； ⑵考虑一些未知的向量能否用基向量或其他已知向量表式； ⑶如何对已经表示出来的向量进行运算，才能获得需要的结论？2.通法分析：利用两个向量的数量积的定义及其性质可
2、以解决哪些问题呢？⑴利用定义a·b＝
3、a
4、
5、b
6、cos＜a,b＞或cos＜a,b＞＝，可求两个向量的数量积或夹角问题；⑵利用性质a⊥ba·b＝０可以解决线段或直线的垂直问题； ⑶利用性质a·a＝｜a｜2，可以解决线段的长或两点间的距离问题．二、例题讲解1.出示例1：已知空间四边形OABC中，，．求证：．证明：＝＝－．∵，，∴，， ，．∴，．∴＝，＝0．∴2.出示例2：如图，已知线段AB在平面α内，线段，线段BD⊥AB，线段，，如果AB＝a，AC＝BD＝b，求C、D间的距离．解：由，可知．由可知，＜＞＝，∴＝＝＋＋＋2(＋＋)＝＝． ∴．3
7、.出示例3：如图，M、N分别是棱长为1的正方体的棱、的中点．求异面直线MN与所成的角．解：∵＝，＝，∴＝·＝(＋＋＋)． ∵，，，∴，，， ∴＝＝．…求得cos＜＞，∴＜＞＝.4.小结：利用向量解几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示式，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算去计算或证明．第二课时立体几何中的向量方法（2）教学要求：向量运算在几何证明与计算中的应用．掌握利用向量运算解几何题的方法，并能解简单的立体几何问题．教学重点：向量运算在几何证明与计算中的应用．教学难点：向量运算在几何证明与计算中的应用．教学过程：一、复习引
8、入讨论：将立体几何问题转化为向量问题的途径？（1）通过一组基向量研究的向量法，它利用向量的概念及其运算解决问题；（2）通过空间直角坐标系研究的坐标法，它通过坐标把向量转化为数及其运算来解决问题.二、例题讲解1.出示例1：如图，在正方体中，E、F分别是、CD的中点，求证：平面ADE．证明：不妨设已知正方体的棱长为１个单位长度，且设＝i，＝j，＝k．以i、j、k为坐标向量建立空间直角坐标系D－xyz，则∵＝(-1,0,0)，＝(0,,-1)，∴·＝(-1,0,0)·(0,,-1)＝0，∴AD． 又＝(0,1,)，∴·＝(0,1,)·(0,,-1
9、)＝0， ∴AE． 又 ， ∴平面ADE．说明：⑴“不妨设”是我们在解题中常用的小技巧，通常可用于设定某些与题目要求无关的一些数据，以使问题的解决简单化．如在立体几何中求角的大小、判定直线与直线或直线与平面的位置关系时，可以约定一些基本的长度．⑵空间直角坐标些建立，可以选取任意一点和一个单位正交基底，但具体设置时仍应注意几何体中的点、线、面的特征，把它们放在恰当的位置，才能方便计算和证明．2.例：证：如果两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行．改写为：已知：直线OA⊥平面α，直线BD⊥平面α，O、B为垂足．求证：OA//BD．证明：
10、以点O为原点，以射线OA为非负z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，i,j,k为沿x轴，y轴，z轴的坐标向量，且设＝．∵BD⊥α， ∴⊥i，⊥j， ∴·i＝·(1,0,0)＝x＝0，·j＝·(0,1,0)＝y＝0,∴＝(0,0,z)．∴＝zk．即//k．由已知O、B为两个不同的点，∴OA//BD．3.法向量定义：如果表示向量a的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作a⊥α．如果a⊥α，那么向量a叫做平面α的法向量．4.小结：向量法解题“三步曲”：（1）化为向量问题→（2）进行向量运算→（3）回到图形问题.第三课时立体几何
11、中的向量方法（3）教学要求：向量运算在几何证明与计算中的应用．掌握利用向量运算解几何题的方法，并能解简单的立体几何问题．教学重点：向量运算在几何证明与计算中的应用．教学难点：向量运算在几何证明与计算中的应用．教学过程：一、复习引入1.法向量定义：如果直线,取直线l的方向向量为，则向量叫作平面α的法向量（normalvectors）.利用法向量，可以巧妙的解决空间角度和距离.2.讨论：如何利用法向量求线面角？→面面角？直线AB与平面α所成的角，可看成是向量所在直线与平面α的法向量所在直线夹角的余角，从而求线面角转化为求直线所在的向量与平面的法
12、向量的所成的线线角，根据两个向量所成角的余弦公式，我们可以得到如下向量法的公式：.3.讨论：如何利用向量求空间距离？两异面直线的距离，转化为与两异面直线都相交的线段在公垂向量上的
