初中数学第22章[x]与{x}竞赛专题复习

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1、初中数学第22章［x］与｛x｝竞赛专题复习第22章与22.1.1★求的值.解析因为所以.故.22.1.2★若是正整数，求的值.解析因为所以，所以.22.1.13★数的末尾有多少个连续的零？解析的质因数分解式中，5的最高次方幕为所以的末尾有499个零.评注在中，质数的最高次幕是其中，且.22.1.4*★设,求.解析要求，只需证明介于两个连续的整数之间.所以需要对进行适当的变形，通过放大、缩小的手段求出的范围，从而确定的取值.由题设知，.考虑到,2,3,4,…，2007,可以得到所以.评注上述解题过程中，首先对进行了“放缩”，又通过“拆项”的方法使和式中前后两项

2、能够相互抵消一部分，使和式化简，从而得到了的范围.在对和式取整时，利用和式本身的性质进行“缩放”的方法非常重要，需要在平时的学习中多积累一些和式的性质以及变形技巧.22.1.5★★计算和式的值.解析因为（23,101）=1,所以，当时，都不是整数，即都不为零.又因为二23,而，且是整数，所以9则.从而，可以把，，…，首尾配对，共配成50对，每一对的和为22,所以22.1.6*★已知，且满足，求的值.解析因为，所以，，…，等于0或者1.由题设知，其中有18个等于1,所以所以，故，于是，所以.22.1.7★★求满足的所有实数的和.解析原方程可化为，所以，可得，于

3、是101,102,•••,125,从而，满足条件的实数为它们的和为22.1.8*★已知，如果要求是正整数，求满足条件所有实数的和.解析显然，，2003是质数，，设，由题设，是整数，.,1,2,3,…，2002.和22.1.9★解方程.解析原方程可改写为9将其代人，可得解此不等式组，有9即，所以.将代入原方程，得所以，原方程的解是.评注若一次方程中同时出现和的一次项，可以通过以下的步骤进行求解：（1）从方程中解出或，分别代入不等式组或，求解后得到或的范围，从而求得的“可能取值”（注意不一定是解!）•（2）将这些“可能值”代人原方程进行求解.（3）检验.因为在（

4、1）中将或代人不等式组，实际上是“放大”了的范围，所以必须验根！22.1.10★解方程：.解析设，则为整数，且，①由原方程知，即.②即.所以，或.代入②，得,•22.1.□★★解方程：.解析由原方程可化为，代入不等式组，有整理后得到.当时，因为，所以，即，所以，与矛盾.当时，因为，所以，即.又因为，所以.所以，故.代入原方程，得.22.1.12*★解方程.解析这是一个关于的二次方程，如果从方程中解出或，并代入不等式组将会使问题复杂化.可以利用的性质，通过建立不等关系缩小的取值范围，从而得到的可能取值.由原方程知，.因为，所以将和分别代入中，得到不等式组即所以

5、或，2,6,7,8.代入原方程得，得，，，.经检验知，，，，均为原方程的解.22.1.13*★已知、、满足：对于数，表示不大于的最大整数,.求、、的值.解析首先注意到，对于任意有理数，，所以.①+②+③得9即.④④一①得到，从而，；④一②得到，从而，；④一③得到，因此…故…22.1.14ilc★解方程（其中表示不超过的最大整数）.解析若是整数，贝4于是非零整数都是原方程的解.若不是整数，贝由题设得所以.设，则…代入上式得当时，，这样的整数不存在.当时，，只有整数满足，此时.于是综上所述,原方程的解为所有非零整数和一9.9.22.1.15^★证明：对于任意实数

6、，有解析设，其中，则有…当时，，，所以99于是.当时所以于是.所以，对于任意实数，恒成立.说明本题中的等式有更为一般的形式：对任意实数，有9其中为大于1的一切正整数.这个等式称为埃尔米特(Herite)恒等式.22.1.16*★设、为正整数，，求证：解析设为整数，且，则有两边同时叠加，得到所以评注对任意实数，有(请读者自证)22.1.★★如果是正整数，求证：解析任意正整数，总存在正整数，满足，不妨设，其中.(1)当时，即.则・①又因为，所以•②由①、②式，得,所以.另一方面，即.故当时，等式成立.(2)当时，则.③又因为所以所以.④由③、④式，得■另一方面，

7、所以.故当时，等式亦成立.综上所述，原等式成立.22.1.18>★设、、是正实数，求的最小值.解析对于实数，有，所以由于是整数，所以.当，，时，.故的最小值为4・22.1.19>★在1,2,…，2005这2005个正整数中,有多少个可以表示成的形式，其中是正实数.（这里表示不超过的最大整数.）解析令，贝U，于是,因为，所以，令，则可以表示数，，…，.由于，，所以，欲求的数的个数为■22.1.20**★将正整数中所有被4整除以及被4除余1的数全部删去，剩下的数依照从小到大的顺序排成一个数列：2,3,6,7,10,11,数列的前项之和记为，其中1,2,3，….求

8、的值.（其中表示不超过的最大整数）解析易知，，，2,