浅谈数学中的分类讨论思想

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1、浅谈数学中的分类讨论思想在中学数学中，分类讨论的数学思想是颇为常见的.用代数语言表述事物具有一般性.通常用一个字母表示实数时，如果没有特殊规定，该字母可以是正数，可以是零，还可以是负数.当含有字母的式子用来表示几何关系时，就可能出现不同的情况.因此，分类讨论是不可避免的.分类是在题目部分条件缺失或不明确的情况下，按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法.掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解，提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的.正确的分类必须是周全的，既不重复

2、、也不遗漏.分类是根据对象的相同点和差异点将对象区分为不同类的逻辑方法.分类也叫划分.分类是以比较为基础的，通过比较认识对象之间的异同，根据相同点将对象归纳为较大的类，根据差异点将对象划分为较小的类，从而将对象区分为具有一定从属关系的不同等级的系统.分类的目的在于使知识合理化，进而系统化.分类具有不可缺少的三要素：母项、子项和根据.母项是被划分的总概念，子项是划分后的类概念，划分的根据就借以划分为标准.分类的标准在于根据对象本身的某种属性和关系来进行划分.由于客观事物有多方面的属性，事物之间有多方面的

3、联系，因此，分类的标准也是多方面的，可根据不同的需要采用不同的分类标准，对事物进行不同的分类.但每一次分类应按照同一标准进行，所取的标准应服从于研究的目的或观察问题的角度.任何分类必须遵循以下原则，只有这样，才能在分类过程中防止出现遗漏、重复或者混淆不清的现象.1.分类具有同一标准性.在分类前，应当从被分类的概念属性中，取一个属性作为依据，这与其说是原则不如说是方法.它有两层意思:一是判断概念应放在哪一类的衡量尺度；二是对两个不同的概念要用同一尺度衡量，否则就会出现划分的结果重叠或过宽的逻辑错误，使划

4、分后的结果混淆不清.2.分类具有完备性.分类所得各子项外延之和必须与被分类的目项的外延相等.从量方面要求一个都不能丢掉.从集合观念看，被分类概念的外延应被分类所得各属概念的外延覆盖，各属概念的并集等于被分概念外延的全集，否则会出现过宽或过窄的逻辑错误.2.分类具有纯粹性.分类所得的各子项必须互相排斥，划分的子项概念的外延之间是不相容的关系.从集合的角度看，被分成的任何两类之间的不相交，即无共同元素，每一类元素之间满足一个标准或关系，不满足该标准或关系的不能属于同一类，即各属概念外延之交集为空集.如把平

5、行四边形分为矩形、菱形和正方形，就不仅违反了第二个原则，而且也犯了“交叉”和“从属”的毛病.所谓分类是根据对象的相同点和差异将对象区分为不同种类的逻辑方法.分类也叫划分.分类是以比较为基础的，通过比较识别对象之间的异同，根据相同点将对象归为较大的类，根据差异将对象划分为较小的类，从而将对象区分为具有一定从属关系的不同等级系统.分类讨论的目的在于使知识组成条理化、系统化.而分类的标准是母项、子项和根据.母项是被划分的种概念,子项是划分后得到的类概念，划分的根据就是借以划分的标准.分类讨论的原则：(1)分

6、类中的每一部分是相互独立的；(2)一次分类按一个标准；(3)分类讨论应逐级进行用分类讨论思想解题的一般步骤：(1)确定分类讨论的对象.(2)进行合理的分类讨论.(3)逐步逐级分类讨论.(4)综合归纳结论.分类讨论的常规方法：(1)依据数学公式、原则、法则的适用范围进行.如等比数列求和公式.(1)根据数学概念的定义进行分类.如绝对值、直线与平面所成的角等.(2)根据数形结合分类.如集合的交、并、补用数轴讨论.(3)依据位置关系进行分论.如几何中点与点，点与线，面与面等位置关系.(4)依据数学性质进行分类

7、.如偶次算术根的性质，二次函数、幕函数的性质.(6)依据参数的变化范围进行分类.(7)依据整数的奇偶性进行分类.在中学数学教学中，利用分类的方法处理问题的情况主要有：(1)给概念下定义和对概念进行归纳总结.关于绝对值的概念，可以有这样一种定义方式：(2)定理、结论的论证求解过程及结论的表现形式.在现行的初中数学课本中，关于圆周角和圆心角的关系定理“同弧上的圆周角等于圆心角的度数的一半”的证明就采用了圆心与圆周角的关系的不同情况来分类的.同样，在中学数学的解题教学中，无论是计算题、作图题还是论证题等，运

8、用分类的思想方法可以帮助学生进行全面严谨的思考、分析、讨论和论证，从而获得合理的解题思路和方法.（3）对已有结论进行推广.此外，我们还可以在已有结论的范围基础上，对尚未讨论的情况进行探究，从而达到对结论的扩展和推广.女口，在有了关于二次、三次方程的根式解以后，按照方程的次数分类，就会想到四次、五次等方程的解的问题而得到新的理论.再如，若我们已经推导出了圆台（或棱台）中截面的面积公式,那么，我们可以进一步推导其它位置的截面的面积公式.运用分类讨论思想可以解