浅谈数学中的分类讨论

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1、浅谈数学中的分类讨论中学阶段的某些数学问题经常要进行分类讨论。引起分类讨论的原因有：1.由数学概念引起，如绝对值的概念、不等式的定义、直线与平面成的角、直线的倾斜角、两异面直线所成的角等；2.由数学运算引起的，如分式中分母不为零、开偶次方根被开方数非负、对数中真数与底数的要求、指数运算中底数的要求等；3.由函数的性质、定理、公式的限制引起的；4.由图形的位置和形状的不确定性引起的；5.由参数的变化引起的。　　解决数学中分类讨论问题的关键在于将整体问题化为局部问题解决，因为为局部问题后相应地增加了题设条件。　

2、　解决分类讨论问题的步骤：　　1.确定分类讨论的对象，针对哪个参数进行分类讨论；　　2.对要讨论的对象进行合理的分类，分类的标准一经确定不能更改，分类要做到不重复、不遗漏、不越级；　　3.分清别后逐类解决；　　4.最后将各类情况总结归纳。　　下面笔者从四个方面浅谈数学中的分类讨论。　　一、对问题中的变量或参数进行分类讨论　　例1：解关于x的不等式x2-(a+a2)x+a3＞0(a∈R)　　解：不等式x2-(a+a2)x+a3＞0(x-a)(x-a2)＞0　　当a＞a2，即0＜a＜1时，原不等式解集是{x

3、x

4、＜a2或x＞a}　　当a=a2时，即a=0或a=1时，　　（1）若a=0，则原不等式x2＞0{x

5、x＞0}　　（2）若a=1，则原不等式(x-1)2＞0{x

6、x≠1}　　当a＜a2时，即a＜0或a＞1时，则原不等式解集是{x

7、x＜a或x＞a2}　　综合可知：当a＜0或a＞1时原不等式解集是{x

8、x＜a或x＞a2}　　当0＜a＜1时，原不等式解集是：{x

9、x＜a2或x＞a}　　例2：已知不等式mx2+mx+2＞0对一切实数x恒成立，试确定实数m的取值范围.　　解：(1)当m≠0时　　mx2+mx+2＞0对一切

10、实数x恒成立的充要条件是：　　0＜m＜0　　例3：已知函数图像经过点(0，1)， (，1)且x∈[0，]时，恒成立，试求实数a的取值范围。　　解：图像过（0，1）和（，1），　　，　　∴b=c=1　　∴　　∵x∈[0，]　　　　∴　　∴　　从而的取值范围与1-a的符号有关，应讨论如下：　　(1)当1-a≥0时，即a≤1时，1≤≤a+，　　∵　　∴　　∴　　∴　　（2）当a＞1时，　　∵　　∴　　∴　　∴　　综合（1）（2）可知：　　实数a的取值范围是[]　　二、问题给出的条件是分类的，解答时要进

11、行分类讨论　　例4：已知数列{an}的前n项和Sn=32n-n2，求数列{

12、an

13、}前n项和Pn　　解：∵Sn=32n-n2，　　∴an=Sn-Sn-1（n≥2），a1=S1=31　　∴an=33n-2n2（n≥1）　　当n≤16时，an≥0，当n＞16时，an＜0　　当n≤16时　　Pn=a1+a2+a3+……+an=32-n2　　当n＞16时　　Pn=（a1+a2+a3+……+an）-（a17+a18+a19+……+an）　　=S16-（Sn-S16）　　=2S16-Sn　　=2（32×16-162）-

14、（32-n2）　　=512-32n+n2　　综上可知：　　　　例5，设函数，若且，试证明　　证：∵，由的单调性可知：　　　　又　　由（1）（2）综合可知：　　从而　　当时，由（2）可知：　　∴　　∴　　当时，由得　　综合以上两方面可知：　　三、解题过程不能统一叙述，必须进行分类讨论　　例6：已知函数，其中，求该函数的定义域.　　解：要使该函数有意义，则有：　　∴　　当时，即时，或　　当时，即时，　　当时，即时，　　综合所述函数的定义域：　　当时为R；　　当m=1为（，1）（1，）；　　当时为（，）（1+，）

15、　　例7：已知在R上为减函数，求实数a的取值范围。　　∵　　∴　　(1)当时，在R上为减函数　　即，　　∴　　∴　　即时，在R上为减函数　　(2)时，　　由在R上是减函数及函数变换可知：当时，在R上位减函数。　　(3)当时，，在R上存在一个区间使得　　①当时，时为增函数。　　②当时，，显然不是减函数.　　③当时，，　　或时为增函数.　　综上所述当时在R上位减函数。　　四、有关几何问题中元素的形状、位置变化的必须进行分类讨论　　例8：动圆与定圆，直线都相切，动圆圆心轨迹是什么曲线？　　解：设定圆：x2+y2=

16、r2，圆心为0，定直线x=a，动圆圆心为M（x，y）半径R　　（1）当动圆与定圆外切时：　　　　又动圆与直线x=a外切，则R=a-x　　，化简得：　　　　即：　　　　若a=-r，则y=0，此时动圆圆心轨迹为射线，该射线落在x轴上，端点(-r，0)方向向左，射线方程：y=0，(x＜a)　　若a≠-r时，此时动圆圆心轨迹抛物线，　　方程：　　(2)当动圆与定圆内时：　　又动圆与直线x=a外切，则R=a-x　　，　　即