衍射的逆运算在二元光学设计中的应用

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1、菲涅耳衍射变换在二元光学设计中的应用李俊昌1,引言在激光应用研究屮，沿着光传播方向研究光波从一个空间平面到另一个空间平面的衍射是一件十分重要的工作，并且，在许多情况下，例如二元光学设计⑴及实时全息的精确测量⑵还涉及到逆着光波传播方向的衍射逆运算问题。在标量衍射理论研究领域，沿着光波传播方向的衍射问题可以通过多种方法求解［习，菲涅耳衍射的逆运算通过适当的数学处理后对以用傅里叶变换⑷或分数傅里叶变换⑸计算，但对于不满足菲涅耳衍射近似的逆运算问题,还未明确地建立起便于使用的表达式。因此，深入研究衍射的逆运算问题具有重要意

2、义。理论研究表明⑹，衍射的正向及逆向运算可以采用多种方法。我们不但可以从基尔崔夫公式、瑞利•索末菲公式以及衍射的角谱理论出发，导出可以用傅里叶变换表述及使用快速傅里叶变换(FFT)运算的表达式，而且，还可以将菲涅耳衍射积分的逆运算表为与菲涅耳衍射积分非常对称的形式，建立可以用FFT计算的菲涅耳衍射变换。对上述计算方法的灵活使用，可以十分方便和有效地解决许多重要的光学计算及光学设计问题。本文简要导出菲涅耳衍射变换，并基于二元光学设计的Gerchberg-Saxton(GS)算法旷9】，将菲涅耳衍射变换用于菲涅耳衍射区

3、衍射元件的设计，给出设计实例。最后，简要讨论可以釆用多种不同的衍射运算方法进行一般衍射元件设计的问题。2菲涅耳衍射变换按照标暈衍射理论，直角坐标系屮的菲涅耳衍射表述如下®61：(1)旳骅)jj"o(xo』o)exp；芳［(x—兀o『+(y—y°)J—8—COI式中，j=口,k=m入,2是光波长；为平面兀)乙上的光波场，t/(x,y)是经过距离d的衍射后，观测平面xy上的光波场.对上式两边作傅里叶变换并利用空域卷积定律得•h{u(x,y)}=.尸{/(心,y。)}rfx；织)exp券(F+/)

4、=/俶(x0,%)}e

5、xp{jkd1-y(/；+/,2)-式中，£、/；•是与空间坐标k、丿对应的频域坐标。这样，物平面兀y()上光波场的傅里叶变换表为•贫仇比,儿）｝=疔©（兀，y）｝exp卜购1-(3)歹｛［/（兀』）｝•幵exp(-jkd)29+/SCWo)=exp(-jkd)exp(jk12dOO8打—OO—8y)exp(吒x2expjlA务兀。+为％J血⑪上式两边作逆傅里叶变换即得到与（1）式形式十分对称的逆运算表达式6比,儿）=肇卜护）jjU（x,y）exp--［（x0-x）2+（^0-y）2］ldxd^⑷J—8—8I>为

6、便于下面的讨论，将（1）式表征的菲涅耳衍射定义为菲涅耳衍射正变换，用符号F（d）｛｝表示，相应地，（4）式定义为菲涅耳衍射逆变换，简写为片;）｛｝，每个符号的下标d为菲涅耳衍射距离。于是菲涅耳衍射变换对可以简单地表为：/（乙司二岛仏山』。）｝（5）(6)匕（兀0』0）=伍;｛"（兀』）｝由于上述止变换及逆变换均表为卷积形式，按照线性系统理论〔⑼，作适当的离散处理后就能通过FFT进行卷积的快速计算求解。另外，如果将（1）（4）两式写为：fjk.—x(2dOO8—OO—8JJSCwJexp烷对Jexp一丿2龙烷兀o+专

7、）b如切两积分式则形成文献［4］从另一种途径导出的可用傅里叶变换及反变换计算的表达式，进行合理的离散处理后［⑴，也可以用FFT作直接快速计算。菲涅耳衍射变换的建立为许多实际应用提供了方便，例如，将菲涅耳衍射变换用于衍射元件设计的GS算法，可以方便地进行菲涅耳衍射区衍射元件的设计。3菲涅耳衍射变换在二元光学设计中的应用在光束整形的应用研究屮，通常期望光波通过二元光学系统后成为一个给定强度分布并沿某预定方向传播的平行光。这种既变换振幅乂变换波面的二元光学系统通常可以由两个二元光学元件组成图1为所研究问题的示意图，图中，

8、平面xoyo±的第一个元件作振幅变换，使到达xy平面的第二个元件表面的光波强度分布满足设计要求；第二个元件则作波面整形，使透过元件的光波成为沿光轴传播的平面波。以下通过菲涅耳衍射变换讨论光学元件的设计问题。设第一个元件的复振幅变换函数为人&0，北），复振幅为5（兀0，几）的光束自左向右传播，期望通过距离d的传播到达xy平而时形成复振幅为的光波场。根据图1有U（兀』）=心）｛匕（兀0丿0広（无』0）｝<►Mojo)图1二元光学元件及坐标定义Fig.lBinaryopticsandthedefinitionsofcoo

9、rdinates对（9）式两边作菲涅耳衍射逆变换后容易得到(10)令7（心为）、〃0（心为）以及exp［/久5））］分别为二元光学元件的振幅透过率、光瞳及位相变换因子⑹，可将该元件的复振幅透过函数表为T.（兀。，X））=厶（兀。，%）A）Uo，北）expfyVUo，儿）1(11)于是得到Podo，yo)expL/0(Xo，yo)]=阳0（"）｝3（兀0，