奥数:六级奥数.数论.平方数奇偶性位值原理

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1、平方数、奇偶性、位值原理知识框架一、完全平方数常用性质1.特征1.完全平方数的尾数只能是0,1,4,5,6,9。不可能是2,3,7,8。2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。3.完全平方数的约数个数是奇数,约数个数为奇数的自然数是完全平方数。4.若质数p整除完全平方数,则p能被整除。2.性质性质1:完全平方数的末位数字只可能是0,1,4,5,6,9.性质2:完全平方数被3,4,5,8,16除的余数一定是完全平方数.性质3:自然数N为完全平方数自然数N约数的个数为奇数.因为完全平方数的质因数分解中每个质因数出现的次数都是偶数

2、次,所以,如果p是质数,n是自然数,N是完全平方数,且,则.性质4:完全平方数的个位是6它的十位是奇数.性质5:如果一个完全平方数的个位是0,则它后面连续的0的个数一定是偶数.如果一个完全平方数的个位是5,则其十位一定是2,且其百位一定是0,2,6中的一个.性质6:如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间,则它不是完全平方数.3.一些重要的推论1.任何偶数的平方一定能被4整除;任何奇数的平方被4(或8)除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。3.自然

3、数的平方末两位只有:00,01,21,41,61,81,04,24,44,64,84,25,09,29,49,69,89,16,36,56,76,96。4.完全平方数个位数字是奇数(1,5,9)时,其十位上的数字必为偶数。5.完全平方数个位数字是偶数(0,4)时,其十位上的数字必为偶数。6.完全平方数的个位数字为6时,其十位数字必为奇数。7.凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数;末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数;个位数字为1,4,9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。1.重点公式回顾:平方差公式:一、

4、奇数和偶数1.定义整数可以分成奇数和偶数两大类.能被2整除的数叫做偶数,不能被2整除的数叫做奇数。通常偶数可以用2k(k为整数)表示,奇数则可以用2k+1(k为整数)表示。特别注意,因为0能被2整除,所以0是偶数。2.奇数与偶数的运算性质性质1:偶数±偶数=偶数,奇数±奇数=偶数性质2:偶数±奇数=奇数性质3:偶数个奇数的和或差是偶数性质4:奇数个奇数的和或差是奇数性质5:偶数×奇数=偶数,奇数×奇数=奇数,偶数×偶数=偶数3.两个实用的推论推论1:在加减法中偶数不改变运算结果奇偶性,奇数改变运算结果的奇偶性。推论2:对于任意2个整数

5、a,b,有a+b与a-b同奇或同偶二、位值原理当我们把物体同数相联系的过程中,会碰到的数越来越大,如果这种联系过程中,只用我们的手指头,那么到了“十”这个数,我们就无法数下去了,即使象古代墨西哥尤里卡坦的玛雅人把脚趾也用上,只不过能数二十。我们显然知道,数是可以无穷无尽地写下去的,因此,我们必须把数的概念从实物的世界中解放出来,抽象地研究如何表示它们,如何对它们进行运算。这就涉及到了记数,记数时,同一个数字由于所在位置的不同,表示的数值也不同。既是说,一个数字除了本身的值以外,还有一个“位置值”。例如,用符号555表示五百五十五时,这

6、三个数字具有相同的数值五,但由于位置不同,因此具有不同的位置值。最右边的五表示五个一,最左边的五表示五个百,中间的五表示五个十。但是在奥数中位值问题就远远没有这么简单了,现在就将解位值的三大法宝给同学们。希望同学们在做题中认真体会。a)位值原理的定义:同一个数字,由于它在所写的数里的位置不同,所表示的数值也不同。也就是说,每一个数字除了有自身的一个值外,还有一个“位置值”。例如“2”,写在个位上,就表示2个一,写在百位上,就表示2个百,这种数字和数位结合起来表示数的原则,称为写数的位值原理。b)位值原理的表达形式:以六位数为例:a×1

7、00000+b×10000+c×1000+d×100+e×10+f。c)解位值一共有三大法宝:(1)最简单的应用解数字谜的方法列竖式(2)利用十进制的展开形式,列等式解答(3)把整个数字整体的考虑设为x,列方程解答重难点本讲知识点属于数论大板块内的“定性分析”部分,小学生的数学思维模式大多为“纯粹的定量计算,拿到一个题就先去试数,或者是找规律,在性质分析层面几乎为0,本讲力求实现的一个主要目标是提高孩子对数学的严密分析能力,培养孩子明白做题前有时要“先看能不能这么做,再去动手做”的思维模式。无论是小升初还是杯赛会经常遇到,但不会单独出

8、题,而是结合其他知识点来考察学生综合能力。例题精讲【例1】已知:1234567654321×49是一个完全平方数,求它是谁的平方?【巩固】是的平方.【例1】1016与正整数a的乘积是一个完全平方数,则a的最小值是____

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