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《2019版高考数学一轮复习平面解析几何第八节曲线与方程课件理》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第八节 曲线与方程总纲目录教材研读1.曲线与方程的定义考点突破2.求轨迹方程的基本步骤考点二定义法求轨迹方程考点一 直接法求轨迹方程考点三利用相关点法(代入法)求轨迹方程教材研读1.曲线与方程的定义一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立如下的对应关系:那么,这个方程叫做③曲线的方程,这条曲线叫做④方程的曲线.2.求轨迹方程的基本步骤1.方程(x-y)2+(xy-1)2=0表示的曲线是()A.一条直线和一条双曲线 B.两条直线C.两个点 D.4条直线C答案C 由(x-y)2+(xy-1)2=0得∴或即方程
2、表示两个点(1,1)和(-1,-1).2.若M,N为两个定点,且
3、MN
4、=6,动点P满足·=0,则P点的轨迹是()A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线A答案A ∵·=0,∴PM⊥PN.∴点P的轨迹是以线段MN为直径的圆.3.已知点F,直线l:x=-,点B是l上的动点.若过点B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M,则点M的轨迹是()A.双曲线 B.椭圆 C.圆 D.抛物线D答案D 由题意知
5、MF
6、=
7、MB
8、,根据抛物线的定义知,点M的轨迹是以点F为焦点,直线l为准线的抛物线.4.已知△ABC的顶点B(0,
9、0),C(5,0),AB边上的中线长
10、CD
11、=3,则顶点A的轨迹方程为(x-10)2+y2=36(y≠0).答案(x-10)2+y2=36(y≠0)解析设A(x,y)(y≠0),则D,∵
12、CD
13、=3,∴+=9,∴(x-10)2+y2=36(y≠0).5.过椭圆+=1(a>b>0)上任意一点M作x轴的垂线,垂足为N,则线段MN中点的轨迹方程是+=1.答案+=1解析设MN的中点为P(x,y),则点M(x,2y),又点M在椭圆上,∴+=1,即所求的轨迹方程为+=1.考点一 直接法求轨迹方程考点突破典例1设O为坐标原点,动点M在椭圆C:+y2=1上,过M作x轴的垂线,垂足
14、为N,点P满足=.(1)求点P的轨迹方程;(2)设点Q在直线x=-3上,且·=1.证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.解析(1)设P(x,y),M(x0,y0),则N(x0,0),=(x-x0,y),=(0,y0).由=得x0=x,y0=y.因为M(x0,y0)在C上,所以+=1.因此点P的轨迹方程为x2+y2=2.(2)证明:由题意知F(-1,0).设Q(-3,t),P(m,n),则=(-3,t),=(-1-m,-n),·=3+3m-tn,=(m,n),=(-3-m,t-n).由·=1得-3m-m2+tn-n2=1,又由(1)知m2+n2=2,故3+
15、3m-tn=0.所以·=0,即⊥.又过点P存在唯一直线垂直于OQ,所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.易错警示运用直接法应注意的问题(1)在用直接法求轨迹方程时,在化简的过程中,有时破坏了方程的同解性,此时就要补上遗漏的点或删除多余的点,这是不能忽视的.(2)若方程的化简过程是恒等变形,则最后的验证可以省略.1-1设点A为圆(x-1)2+y2=1上的动点,PA是圆的切线,且
16、PA
17、=1,则P点的轨迹方程为( )A.y2=2xB.(x-1)2+y2=4C.y2=-2xD.(x-1)2+y2=2D答案D 如图,设P(x,y),圆心为M(1,0).连接MA,
18、PM,则MA⊥PA,且
19、MA
20、=1,又因为
21、PA
22、=1,所以
23、PM
24、= =,即
25、PM
26、2=2,所以(x-1)2+y2=2.典例2(2017北京海淀二模,18)已知动点M到点N(1,0)和直线l:x=-1的距离相等.(1)求动点M的轨迹E的方程;(2)已知不与l垂直的直线l'与曲线E有唯一公共点A,且与直线l的交点为P,以AP为直径作圆C.判断点N和圆C的位置关系,并证明你的结论.考点二 定义法求轨迹方程解析(1)由抛物线的定义可知动点M的轨迹E是以N(1,0)为焦点,直线l:x=-1为准线的抛物线,所以=1,即p=2.所以轨迹E的方程为y2=4x(x≥0).(2)
27、点N在以AP为直径的圆C上.证法一:由题意可设直线l':x=my+n(m≠0),令x=-1,得P.由可得y2-4my-4n=0,(*)因为直线l'与曲线E有唯一公共点A,所以Δ=16m2+16n=0,即n=-m2.所以(*)可化简为y2-4my+4m2=0,所以A(m2,2m),因为n=-m2,所以·=(m2-1,2m)·=-2m2+2-2-2n=0,所以NA⊥NP,所以点N在以AP为直径的圆C上.证法二:依题意可设直线l':y=kx+b(k≠0),由可得k2x2+2(bk-2)x+b2=0,(*)因为直线l'与曲线E有唯一公共点A,所以即所以·=(m2-1,2m
28、)·=-2
