矩阵的标准形(等价,相似,合同等)开题报告

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1、为了适应公司新战略的发展，保障停车场安保新项目的正常、顺利开展，特制定安保从业人员的业务技能及个人素质的培训计划矩阵的标准形(等价,相似,合同等)开题报告　　矩阵的合同，等价与相似的联系与区别　　XX09113李娟娟　　一、基本概念与性质　　等价：　　1、概念。若矩阵A可以经过有限次初等变换化为B，则称矩阵A与B等价，记为A?B。　　2、矩阵等价的充要条件：　　A?B?{同型，且人r(A)=r(B)存在可逆矩阵P和Q，使得PAQ=B成立　　3、向量组等价，两向量组等价是指两向量组可相互表出，有此可知：两向量组的秩相同，但两向量组各自的线性相关性却不相同。　　合同：

2、　　1、概念，两个n阶方阵A,B，若存在可逆矩阵P，使得A?BPTAP?B成立，则称A,B合同，记作A?B该过程成为合同变换。　　2、矩阵合同的充要条件：矩阵A,B均为实对称矩阵，则A?B?二次型xTAx与xTBx有相等的E负惯性指数，即有相同的标准型。目的-通过该培训员工可对保安行业有初步了解，并感受到安保行业的发展的巨大潜力，可提升其的专业水平，并确保其在这个行业的安全感。为了适应公司新战略的发展，保障停车场安保新项目的正常、顺利开展，特制定安保从业人员的业务技能及个人素质的培训计划　　相似　　1、概念：n阶方阵A,B，若存在一个可逆矩阵P使得B?P?1AP成

3、立，则称矩阵A,B相似，记为A~B。　　2、矩阵相似的性质：　　AT~BT,Ak~Bk,A?1~B?1(前提，A,B均可逆)　　

4、?E-A

5、?

6、?E?B

7、即A,B有相同的特征值　　A~B?r(A)=r(B)　　tr(A)?tr(B)即A,B的逆相等　　

8、A

9、=

10、B

11、　　3、矩阵相似的充分条件及充要条件：　　①充分条件：矩阵A,B有相同的不变因子或行列式因子。　　②充要条件：A~B?(?E?A)?(?E?B)　　二、矩阵相等、合同、相似的关系　　、矩阵相等与向量组等价的关系：　　设矩阵A?(?1,?2,?,?n)，B?(?1,?2,?,?m)　　1、若向量组是向量组

12、的极大线性无关　　组,则有m?n，即有两向量等价，而两向量组线性相关性却不同，前者一定线性无关，而后者未必线性无关。而矩阵B与A亦不同型，虽然r(A)?r(B)但不能得出A?B。　　2、若m=n，两向量组?则有矩阵A,B　　同型且r(A)?r(B)?A~B,A?B,A?Br(A)?r(B)?A?B。目的-通过该培训员工可对保安行业有初步了解，并感受到安保行业的发展的巨大潜力，可提升其的专业水平，并确保其在这个行业的安全感。为了适应公司新战略的发展，保障停车场安保新项目的正常、顺利开展，特制定安保从业人员的业务技能及个人素质的培训计划　　3、若A?B?r(A)?r(

13、B)?两向量组秩相同，?两向量组等价，即有A?B??(?1,?2,?,?n)?(?1,?2,?,?n)　　综上所述：矩阵等价与向量等价不可互推。　　、矩阵合同。相似，等价的关系。　　1、联系：矩阵的合同、相似、等价三种关系都具有等价关系，因为三者均具有自反性、对称型和传递性。　　2、合同、相似、等价之间的递推关系　　①相似?等价：A~B?A,B同型且r(A)?r(B)?A?B　　②合同?等价：A?B?A,B同型且r(A)?r(B)?A?B　　③相似与合同之间一般情况不能递推，但有一下附加条件时可以Ⅰ、若A,B均为实对称矩阵，则有A,B一定可以合同于对角矩阵当A~B

14、时，

15、?E?A

16、?

17、?E?B

18、?二次型f(x)?XTAX与g(x)?XTBX有相同的标准型，即二者有相同的正负惯性指数?A?B?A?B　　即有A~B?A?B?A?B　　Ⅱ、存在一个正交矩阵P，即PTP?E使得PTAP?B即A?B则有　　?1B?PTAP?PAP?~AB即有A?B?A~B　　Ⅲ、若A,B实对称，且存在一个正交矩阵P，则　　A~B时有A~B?A?B?A?B　　Ⅳ、A~B?r(A)?r(B)、A?B?r(A)?r(B)、A?B?r(A)?r(B)下面讨论r(A)?r(B)时A~B,A?B,A?B成立的条件。目的-通过该培训员工可对保安行业有初步了解，并感

19、受到安保行业的发展的巨大潜力，可提升其的专业水平，并确保其在这个行业的安全感。为了适应公司新战略的发展，保障停车场安保新项目的正常、顺利开展，特制定安保从业人员的业务技能及个人素质的培训计划　　由Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的论述可知　　存在正交矩阵P时，有PT?P?1，则　　r(PTAP)?r(A)记B?PTAP则r(A)?r(B)　　此时A?B?A~B?A?B　　即P为正交矩阵时，由r(A)?r(B)?A~B,A?B,A?B　　1、矩阵等价：①同型矩阵而言　　②一般与初等变换有关　　③秩是矩阵等价的不变量，同次，两同型矩阵相似的　　本质是秩相等　　2、矩阵相似：①针对方阵而言　

20、　②秩相等