随机信号与系统课第一章习的题目部分问题详解

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1、实用标准文案第一章习题1-1对某一目标进行射击，直到击中为止。如果每次射击命中率为p，试求（1）射击次数的概率分布表；（2）射击次数的概率分布函数。解：（1）设事件A：每次射击命中目标事件B：第n次首次命中目标则射击次数的概率分布表为：次数123…n…（2）射击次数的概率分布函数：.1-2假设测量某一目标的距离时，随机偏差X（单位m）的分布密度为试求在三次测量中，至少有一次测量偏差的绝对值不超过30m的概率。解：由随机误差分布密度可知，设事件A：一次测量中的测量误差的绝对值超过30m；事件B：三次测量中至少有一次测量误差的绝对值不超过

2、30m；则1-3对某一目标进行射击，直到击中为止。如果每次射击命中率为p，试求射击次数的数学期望和方差。解：设射击次数为X，由题1-1，知其概率分布函数为，所以其数学期望为.设，则Sn=1+2(1-p)+3(1-p)2+…+(n-1)(1-p)n-2+n(1-p)n-1①(1-p)Sn=(1-p)+2(1-p)2+3(1-p)3+…+(n-1)(1-p)n-1+n(1-p)n②①-②，得pSn=1+(1-p)+(1-p)2+(1-p)3+…+(1-p)n-1-n(1-p)n，化简得.精彩文档实用标准文案∴.射击次数的方差为，∵，，∴.

3、设，则Qn=1×0+2×1(1-p)+3×2(1-p)2+…+(n-1)(n-2)(1-p)n-2+n(n-1)(1-p)n-1③(1-p)Qn=1×0(1-p)+2×1(1-p)2+3×2(1-p)3+…+(n-1)(n-2)(1-p)n-1+n(n-1)(1-p)n④③-④，得pQn=2×1(1-p)+2×2(1-p)2+2×3(1-p)3+…+2(n-1)(1-p)n-1-n(n-1)(1-p)n，整理得又，∴，∴.∴1-4对圆的直径作近似测量，设其值均匀分布在区间[a，b]内，求圆面积的分布密度和数学期望。解：设X为圆直径的近

4、似测量值，则X的概率密度函数为精彩文档实用标准文案分布函数为设圆的面积为Y，则Y=πX2/4，所以圆面积的分布函数计算得∵Y=πX2/4，∴圆面积Y的数学期望.∴.1-5设随机变量X和Y互相独立，且服从正态分布。试证明随机变量Z1=X2+Y2与随机变量Z2=X/Y也是独立的。证明：不妨设X和Y均为标准高斯变量，由于，∴.由于Z1=X2+Y2，Z2=X/Y，反解X、Y，可得或代入，可得Z1与Z2的联合分布密度为精彩文档实用标准文案其边缘密度为∴有，所以Z1与Z2二者相互独立.1-6设随机变量X和Y是独立的，且分别服从参数为a和b的泊松分

5、布。试应用特征函数来证明随机变量Z=X+Y服从参数为a+b的泊松分布。证明：（方法一）不妨设，，则，因为X、Y相互独立所以因此有下式：精彩文档实用标准文案所以Z=X+Y服从参数为(a+b)的泊松分布,证毕.（方法二）：由条件可知随机变量X、Y的特征函数分别为所以又X、Y独立，由特征函数性质可知Z=X+Y服从参数为(a+b)的泊松分布,证毕.1-7设泊松分布为试证明：（1）均值和方差皆为l；（2）特征函数为exp[l(ejw-1)]。证明：（1）.（2）1-8均值和方差分别为m和s2的高斯密度函数为试证明（1）特征函数为（2）高斯变量的

6、中心矩为精彩文档实用标准文案证明：（1）（2）.令则当k为奇数时，因为被积函数是奇函数，故当m为偶数时，因为被积函数是偶函数，故令，证毕.1-9已知随机变量x1和x2相互独立，且x1，x2～N（μ，σ2）。试求y=2x1+3x2的概率密度函数。解：.1-10考虑p阶子回归序列模型精彩文档实用标准文案式中，ai（i=1，2，…，p）称为自回归系数；ek～N(0，σe2)，且E[xk-mek]=0，"0

7、xp-1]T、a=[a1，a2，…，ap]和ek～N(0，σe2)的条件下，观测序列x2=[xp，xp+1，…，xN-1]T是由白噪声序列ep，ep+1，…，eN-1的线性变换而得到的。试求到x2的概率密度p(x2

8、x1，a，se2)。解：,而E[xpep-m]=0，E[xpep]≠0，E[xpxp-m]=0，0

9、量r和j的联合密度函数，并证明二者是相互独立的。解：∴.由于x1，x2～N（0，σ2），将逆变换x=rcosj，y=rsinj代入，可得精彩文档实用标准文案.即为随机变量r和j的联合密度函数.其边缘密度为，.∴有，所以r