曲面上的杜邦指标线曲率线

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1、第二章曲面论第十一节曲面上的曲线七、曲面上的主方向、主曲率和曲率线法曲率的最大值和最小值所满足的方程为，（2）其判别式为，故当且仅当时，判别式为零，即，（3）满足（3）式的点称为脐点,24否则称为非脐点.所以在一个非脐点,判别式，方程(2)总有两个不相等的实根,曲面在这一点总有两个不相等的法曲率，且分别是法曲率的最大值和最小值。法曲率取到的极值称为主曲率.。在脐点,若令，则任意方向的法曲率常数，都为主曲率，而方程(2)变为，但这个关系无非表示任意方向的法曲率相等.对于的脐点，称为平点。我们把不同时为零的脐点称为圆点。容易证明球面上的每一点都是圆点。

2、24将代入方程(2)式，得到，经过计算，此方程可化为，事实上，利用待定系数法，经计算可知，，，于是有。故得使法曲率取到最值的方向为，此式还能写成如下形式：。将代入，则有24，，（4）这给出曲面上的两族曲线，曲线上的方向使法曲率达到最值。再给出另一种推演方法如下在法曲率取到极值的方向处，有，，，化简后，得到，（3）此式还能写成如下形式：。其判别式为24所以当且仅当时，判别式为零，即。所以在一个非脐点,判别式，方程(3)总有两个不相等的实根,曲面在这一点总有两个不相同的方向，法曲率在这两个方向分别达到最大值和最小值。曲面上使法曲率达到极值的切方向，称为

3、主方向。曲面上一条曲线，如果曲线在每点处的切方向都是曲面的主方向,则称此曲线为曲面上的一条曲率线.在脐点处,方程(5.9)变成恒等式,即任意方向都为主方向.24将代入，则有，，（4）这方程确定了曲面上两族曲率线，组成曲面上的曲率线网。定理5.2曲面在非脐点处,两个主方向互相垂直.要证明这个定理,只要应用以下引理于方程(4).引理5.3曲面上一点由方程所确定的两个切方向互相垂直的充要条件是，,这里是曲面的第一类基本量.证明两个方向（）和（）24正交的充要条件是换一种写法即，（5）将已知的二次方程写成，则它的两个根，记为，均应满足上述方程,由根与系数的

4、关系知,，将上式代入(5)式，即得引理.对方程（4），有，所以曲面在非脐点处,两个主方向互相垂直.【注1】定理5.2只说明在非脐点处,24两个主方向垂直,但任意两个垂直的方向却不是主方向.另一方面,在脐点处,任意方向都是主方向,因此主方向未必垂直,而任意两个垂直的方向都是主方向.共轭方向定义　　设A为阶实对称矩阵，如果有两个维向量和，（写成列向量），满足　　，（1）则称向量与对于矩阵A共轭。如果A为单位矩阵，则式(1)即成为，这样两个向量的点积（或称内积24）为零，此二向量在几何上是正交的，它是共轭的一种特例。　　设A为对称矩阵，若一组非零向量，满

5、足　　（i≠j）（2）则称向量系为关于矩阵A共轭。共扼向量的方向称为共轭方向。几何意义设为二阶对称矩阵，，方程为以原点为中心的平面二次曲线。连结曲线上任意两点的线段叫作弦；过中心的弦称为直径。平行于一条直径的弦的中心的轨迹，亦构成直径，称与互为24共轭直径，两直径分别所在的两直线的方向，称为曲线的共轭方向。设是一条直径所在的直线的方程，是直线的方向；是平行于直径的弦所在的直线的方程，是曲线上的点，则此弦与曲线的交点，满足，，，共轭直径的方向，将代入，则得到，24即。设两共轭直径的斜率分别为，则有，，即得。曲面上两个方向（）和（称为共轭方向，如果。对

6、，，有24。曲面上两个方向和称为曲面上的共轭方向，如果有，或者。换一种写法，即。前面已证，曲面上的两主方向正交，现证两主方向共轭。事实上，将方程（5）的两根写出，再由根与系数的关系知，，24所以曲面上两个主方向（）和（是曲面上的共轭方向。这样一来，曲面上使法曲率分别达到最大值和最小值的两个方向，必互相垂直，且互为共轭方向，即，。。主方向的判别定理（罗德里格斯（Rodrigues）定理),如果方向是主方向,则,其中，是曲面沿方向(d)的法曲率。反之,如果对于方向(d),有,则(d)是主方向,且，是曲面沿方向(d)的法曲率。证明先证定理的前半部分：设是

7、垂直于24(d)的另一个主方向。由，两边微分得。这关系式说明在切平面上，于是，将两边点乘，并注意（这是由于方向和的共轭性，以及（这是由于这两个方向的正交性），得到，因此，由此，在把这等式两边点乘，得，，由此得。再证定理的前后半部分：24设方向(d)满足，现在要证明它是主方向。假设方垂直于，把等式的两边点乘，得，这表示方向和是共轭的。因此和不仅正交，而且共轭，所以它们都是主方向。由，可得。2.5.2Euler公式现在我们考察在曲面的一个非脐点,法曲率随方向而变化的规律,并可以看到,主曲率就是法曲率的最大值和最小值.首先我们证明这样一个事实.定理5.4

8、不含脐点的曲面片上,参数曲线的方向是主方向当且仅当24.证明必要性首先因参数曲线的切方向是主方向,而主方向必正交,因此F=