微分中值定理及其应用(6)

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1、目录摘要3ABSTACT41.引言52.微分中值定理及其推广形式介绍62.1微分中值定理及其经典证明62.1.1（罗尔定理）若函数满足下列条件：62.1.2（拉格朗日中值定理的）72.1.3（柯西中值定理）72.2微分中值定理的推广形式及其证明92.2.1：推广192.2.2：推广292.2.3推广392.2.4推广492.2.5（导数极限定理）102.2.6(导函数的介值性):103微分中值定理的应用113.1一元函数微分中值定理113.1.1一阶函数与单调性的关系：113.1.2可微极值点的必要条件:113.1.3极值点的充分条件:113.1.4利用单调性证明不等式:123.1.5凸

2、性的定义及判定：133.1.6利用二阶导数判断曲线的凸向:133.1.7曲线的拐点:143.1.8函数的最值:153.2微分中值定理在n个函数情形下的应用推广153.2.1：推广153.2.2我们试着把三个函数推广到四个函数163.2.3我们还可以把这个推论推广到个函数的情形：174.结论18参考文献19致谢2019摘要微分中值定理是高等数学微分学的核心内容，在给出三个微分中值定理的基础上，进一步探究每个中值定理的推广延伸形式。在给出微分中值定理的经典证明的基础上，讨论他们之间的联系。将其推广延伸形式的证明依次给出，并讨论这些证明中所运用的思想，从而进一步证明运用微分中值定理得出的分段函

3、数的导函数的性质、讨论导数零点的存在性、研究函数性态、证明不等式和求极限。最后给出微分中值定理在多元函数中的推广应用。关键词：微分中值定理，推广，应用，多元函数19AbstactDifferentialmeanvaluetheoremofhighermathematicsisthecorecontentofdifferentialcalculus,inthethreedifferentialmeanvaluetheoremaregivenonthebasisoffurtherstudy,eachextendingformthegeneralizationofthemeanvaluethe

4、orem.Thedifferentialmeanvaluetheoremproofbasedontheclassic,discusstheconnectionbetweenthem.Itsextensionformsofevidencearepresented,anddiscussedtheseprovedintheuseofthought,therebyfurtherdemonstratethattheapplicationofthedifferentialmeanvaluetheoremthatpiecewisefunction,discussthepropertiesofderiv

5、ativefunctionzeroofderivativeexistence,ofstudyingfunction,theproofofinequalityandlimit.Finally,thedifferentialmeanvaluetheoreminmultivariatefunctionapplicationKeywords:differentialmeanvaluetheorem,promotion,application,multiplefunctions19微分中值定理及其应用1.引言人们对微分中值定理的研究，大约经历了200多年的时间，它从费吗定理开始，经历了从特殊到一般

6、、从直观到抽象，从强条件到弱条件的发展阶段。人们正是在这一发展阶段中，逐渐认识到它们额内在联系和本质。微分中值定理就是浓缩型的普遍化，而这种普遍化如同美国数学家克拉默所说在对数学史上任一时期中人们对数学做出贡献进行评价的，那些能把过去统一起来而同时又为未来拓广开辟了道路的概念，应当算作最为深刻的概念。从广义上讲，微分中值定理就是这样年过的概念。微分中值定理是微分学的基本定理，在数学分析中占有重要地位，是研究函数在某个区间上的整体性性质的强有力的工具。它包括罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理。其中拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广，柯西中值定理是罗尔中值定理的推广；反之，拉格朗

7、日中值定理是柯西中值定理的特例，罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的特例。要更深入的研究中值定理，还必须了解他们的推广形式以及通过中值定理来解决函数的一些问题。文献1讲了微分中值定理的表述及其经典证明，并拓展出它的推广形式；文献2利用微分中值定理得到了分段函数在分段点可导性的一个判别方法，进而得到分段函数的两个性质，并给出了分段函数的导数性质的应用举例；文献3表述了三个微分中值定理性质之间的联系，利用几何意义进行解题应用、讨论函数零点的