《曲洋开题报告》word版

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1、滨州学院毕业设计（论文）开题报告题目判定数项级数敛散性方法的探讨系（院）数学与信息科学系年级2009专业数学与应用数学班级1班学生姓名曲洋学号2009010477指导教师窦慧职称滨州学院教务处二〇一三年三月一、课题的目的意义：数学分析作为数学专业的重要专业基础课程，对学习好其他科目具有重要作用.数项级数是《数学分析》的一个重要组成部分，是全部级数理论的基础，是研究“无穷项相加”的理论，它是表示函数、研究函数的性质以及进行数值计算的一种工具.数项级数主要包括正项级数和交错级数，而研究数项级数的首要问题就

2、是判别级数的敛散性问题.级数的收敛问题是级数理论的基本问题，是当今数学分析的重要内容，判别数项级数的收敛或发散，是级数的重点.在18世纪，甚至到今天，级数一直被认为是微积分的一个不可缺少的部分.如今，级数已经渗透到科学技术的很多领域，成为数学理论和应用中不可缺少的有力工具.除了用于微积分之外，级数的主要应用之一在于计算一些特殊的量，如e，以及对数函数和三角函数值.级数也是进一步研究函数的有力工具：一方面能借助级数表示许多常用的非初等函数，微分方程的解就常用级数表示；另一方面又可将函数表为级数，从而借助

3、级数去研究函数，例如初等函数的展开，以及借助级数进行近似计算等.随着研究领域的逐渐扩展，数学家们运用级数所取得的成功变得越来越多.本文将写出判别级数敛散性的若干种方法，及其若干应用.二、文献综述：历史上，人们曾把无穷个实数相加看成无穷个数的和.恰如有限个数的和一样，这在直观上容易被人接受.在《庄子·天下篇》中提到“一尺之捶，日取半截，万世不竭”，把每天截下的那一部分的长度加起来：，从直观上看，它的和是1，但是下面“无限个实数相加”的和是多少？如果写成其结果是0.如果写成其结果是1.两个结果完全不同.因

4、此提出这样的问题：“无限个数相加”是否存在“和”？如果存在,“和”是多少？十七八世纪的一些著名的数学家曾对此感到迷惑，并有许多争论，并给出了这个级数“和”的不同结果.例如莱布尼兹认为这个“和”是0到1之间的一个数.他论证说，这个级数前项和形成一个数列，其中0和1出现的机会相同，因此取它的平均数为这个级数的和.这一说法得到了著名数学家伯努利(Bernouli)兄弟的首肯.有人做过如下论证：既然是一个数，记为，由于，即为，得.大数学家欧拉(Euler)也主张用等比公式：，把代入得到，他用同样的讨论得到其他

5、的一些结果.例如把代入得，而这些结果现在看起来都是荒谬的.后来人们认识到“无穷多个数相加”，这是一个根本无法操作的过程，人们不知道怎样把无穷多个数相加.经过很长一段时间，数学家柯西(Cauchy)给出了无穷级数的严格定义，之后级数理论得到了充分地发展.无穷级数是表示函数、研究函数和数值计算的重要工具，我国古代数学家刘徵创立的“割圆术”对圆面积的近似计算已具有了初步的无穷级数的概念，无穷级数在自然科学与工程技术中具有广泛的应用.级数是否存在和，即为判断级数是否收敛的问题.级数的收敛性是级数首要的重要性质

6、.因此对于一个给定的级数，首先应判断它是否收敛.若数项级数各项符号都相同称为同号级数.对于同号级数，只须研究各项是正数组成的级数---正项级数.定义在区间的函数项级数，当在内任意取定一点时,便得到一个数项级数.自然,对函数项级数的研究极大地依赖于对数项级数的研究，而正项级数是数项级数中最基础的级数，研究数项级数的性质如绝对收敛、条件收敛，需要用到正项级数敛散性判别法，在函数项级数如幂级数收敛半径求解，函数项级数一致收敛Weierstrass判别法(M判别法或优级数判别法)中也用到了正项级数敛散性.近年

7、来新的有效的判别法不断被提出，比如高斯判别法、对数判别法、比值判别法的推广等，这些新的判别法克服了经典判别法的一些缺点，判别范围更广、更有效.本文介绍了正项级数敛散性判断的多种方法.文章分为四部分内容：比较判别法及其推广，积分判别法，导数判别法及两种一般项级数的判断方法.比较判别法是正项级数敛散性重要的判断方法，分别以等比级数、级数及为比较对象，得到了达朗贝尔判别法、柯西判别法、拉贝判别法、高斯判别法等，上述三级数通项级数通项收敛于零的速度依次变慢，因此所得判断方法范围更广泛.参考文献：[1]华东师范

8、大学数学系.数学分析(第三版)[M].北京：高等教育出版社，2006:6-16.[2]李铁烽.正项级数判敛的一种新的比值判别法[J].北京：数学通报,1990,(1):46-47.[3]龙艳.关于正项级数收敛性判断的一个推广[J].长春师范学院学报,2009,28(6):1-3.[4]冯江浪.关于一些特殊正项级数敛散性的判别法[J].中国科技信息,2009,(1):25.[5]唐翠娥级数敛散性的拉阿贝判别法的推广[J],大学数学，2005,21(2):1