高中数学知识点总结_导数的应用

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1、导数的应用、复数1.用导数研究函数的单调性。在区间内可导，若>0，则在上递增;若<0，则在上递减.注意：为正（负）是函数递增（减）充分不必要条件。如果函数f(x)在区间（a,b）内可导且不是常函数，上述结论可以改进为：f(x)在区间（a,b）上单调递增≥0在（a,b）上恒成立；f(x)在区间（a,b）上单调递减≤0在（a,b）上恒成立[举例1]已知函数若在是增函数，求实数的范围。解析：≥0在上恒成立在上恒成立而在上的最小值为16，故。[举例2]已知定义在R上的函数y=f(x)的导函数f/(x)在R上也可导，且其导函数[f/(x)]/<0，则y=f(x)的图象可能是下图中的（C）Oxy④Oxy

2、③A．①②B．①③C．②③D．③④Oxy②Oxy①解析：由[f/(x)]/<0知f/(x)在R上递减，即函数y=f(x)的图象上从左到右各点处的切线斜率递减，不难看出图象②③满足这一要求。[举例3]f(x)是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf/(x)+f(x)≤0,对任意正数a、b,若a＜b，则必有（）（07陕西理11）A.af(b)≤bf(a)B.bf(a)≤af(b)C.af(a)≤f(b)D.bf(b)≤f(a)解析：xf/(x)+f(x)≤0[xf(x)]/≤0函数F(x)=xf(x)在（0，+∞）上为常函数或递减，又0

3、)≥0①②①②两式相乘得：af(b)≤bf(a)，故选A。注：本题的难点在对不等式②的设计，需要经验更需要灵感。[巩固1]函数在）上递增，的取值范围是。[巩固2设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）（07浙江理8）yxOyxOyxOyxOA．B．C．D．[巩固3]函数f(x)、g(x)在R上可导，且f/(x)>g/(x),若a>b，则（）A．f(a)>g(b)B．g(a)g(a)-g(b)2．“极值点”不是“点”，而是方程的根。是函数极值点则；但是，未必是极值点（还要求函数在左右两侧的

4、单调性相反）；若（或）恒成立，则函数无极值。[举例1]已知函数在处取得极大值，在处取得极小值，且．（1）证明；（2）若z=a+2b,求z的取值范围。解析：函数的导数．（Ⅰ）由函数在处取得极大值，在处取得极小值，知是的两个根．所以；当时，为增函数，，由，得．（Ⅱ）在题设下，等价于　即．化简得．此不等式组表示的区域为平面上三条直线：所围成的的内部，由“线性规划”的知识容易求得：的取值范围为．[举例2]已知函数在处有极值10,则解析：，∴=①②由①②得：或当时，，此时函数无极值，舍去；当时，函数在处左减右增，有极小值；此时∴18。注：在解决“已知函数的极值点求参变量”的问题时，为避免“增根”，需将

5、求出的参变量的值代入检验其是否为完全平方式，若是则函数无极值（单调），否则有极值；也可以对再次求导，看的值，为0则无极值，为正则有极小值，为负则有极大值。[巩固1]已知在区间[0,1]上是增函数,在区间上是减函数,又(Ⅰ)求的解析式;(Ⅱ)若在区间(m＞0)上恒有≤x成立,求m的取值范围.[举例2]设函数，其中．证明：当时，函数没有极值点；当时，函数有且只有一个极值点，并求出极值．（07高考山东文21）3.求在闭区间内的最值的步骤：（1）求导数（2）求导数方程=0的根（3）检查在根的左右值的符号，列表求得极值；也可通过解不等式≥0及≤0确定函数在给定区间内的单调情况，再确定函数的极值；最后将

6、极值与区间端点的函数值比较以确定最值。[举例1]设函数在及时取得极值．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围．解析：（Ⅰ），由，．解得，．（Ⅱ）在[0，3]上恒成立即，由（Ⅰ）可知，，．当时，；当时，；当时，．即在0，1]上递增，[1，2]上递减，[2，3]上递增；∴当时，取得极大值，又．故当时，的最大值为．于是有：，解得　或，因此的取值范围为。[举例2]已知定义在正实数集上的函数，，其中．设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同．用表示，并求的最大值；解析：设与在公共点处的切线相同．，，由题意，．即由得：，或（舍去）．即有．令，则．于是当，即时，；当，即时，．故在

7、为增函数，在为减函数，∴在的最大值为．[巩固1]设函数，求在区间的最大值和最小值．[巩固2]已知函数，其图象为曲线C（1）直线l:y=x+1与曲线C相切于x轴上一点，求的a、b的值（2）是否存在实数a、b，使f(x)在［-1、2］上取得最大值为3，最小值为-29。若存在，求出a、b的值，并指出函数y=f(x)的单调递增区间；若不存在，请说明理由。4．复数包括实数和虚数，实数是虚部为0的复数；-1的“平方根”为