《专题研究》word版

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1、蒈蒂袄莈莄蒁羆膀芀蒀课时作业（五十六）1．设A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y2＝2px(p>0)上的两点，并且满足OA⊥OB，则y1y2等于(　　)A．－4p2　　　　　　　　　B．－3p2C．－2p2D．－p2答案　A解析　∵OA⊥OB，∴·＝0.∴x1x2＋y1y2＝0.①∵A、B都在抛物线上，∴∴代入①得·＋y1y2＝0，解得y1y2＝－4p2.2．抛物线y＝ax2与直线y＝kx＋b(k≠0)交于A，B两点，且此两点的横坐标分别为x1，x2，直线与x轴交点的横坐标是x3，则恒有(　　)A．x3＝x1＋x2　　　　　　B．

2、x1x2＝x1x3＋x2x3C．x1＋x2＋x3＝0D．x1x2＋x2x3＋x3x1＝0答案　B解析　由方程组得ax2－kx－b＝0，可知x1＋x2＝，x1x2＝－，x3＝－，代入各项验证即可得B正确，故选B.3．已知A，B，C三点在曲线y＝上，其横坐标依次为1，m,4(1

3、AC

4、·d＝××＝

5、m－3＋2

6、＝

7、(－)2－

8、.∵m∈(1,

9、4)，∴当＝时，S△ABC有最大值，此时m＝.故选B.4．过抛物线y2＝2px(p>0)上一定点M(x0，y0)(y0≠0)，作两条直线分别交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)，当MA与MB的斜率存在且倾斜角互补时，则等于(　　)A．－2B．2C．4D．－4答案　A解析　kMA＝＝＝＝(y0≠y1)，同理：kMB＝.由题意：kMA＝－kMB，∴＝－，∴y1＋y0＝－(y2＋y0)，y1＋y2＝－2y0，∴＝－2，故选A.5．已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，Q为圆x2＋(y－4)2＝1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物

10、线的准线的距离之和的最小值是(　　)A．5B．8C.－1D.＋2答案　C解析　抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，圆x2＋(y－4)2＝1的圆心为C(0,4)，设点P到抛物线的准线的距离为d，根据抛物线的定义有d＝

11、PF

12、，∴

13、PQ

14、＋d＝

15、PQ

16、＋

17、PF

18、≥(

19、PC

20、－1)＋

21、PF

22、≥

23、CF

24、－1＝－1.6.(2012·东北三校)已知曲线C1的方程为x2－＝1(x≥0，y≥0)，圆C2的方程为(x－3)2＋y2＝1，斜率为k(k>0)的直线l与圆C2相切，切点为A，直线l与曲线C1相交于点B，

25、AB

26、＝，则直线AB的斜率为(　　)A.

27、B.C．1D.答案　A解析　设B(a，b)，则由题意可得解得则直线AB的方程为y＝k(x－1)，故＝1.∴k＝，或k＝－(舍去)．7．已知点M是抛物线y2＝4x上的一点，F为抛物线的焦点，A在圆C：(x－4)2＋(y－1)2＝1上，则

28、MA

29、＋

30、MF

31、的最小值为________．答案　4解析　依题意得

32、MA

33、＋

34、MF

35、≥(

36、MC

37、－1)＋

38、MF

39、＝(

40、MC

41、＋

42、MF

43、)－1，由抛物线的定义知

44、MF

45、等于点M到抛物线的准线x＝－1的距离，结合图形不难得知，

46、MC

47、＋

48、MF

49、的最小值等于圆心C(4,1)到抛物线的准线x＝－1的距离，即为5，因

50、此所求的最小值为4.8．若抛物线y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，动点P在曲线y2＝－4x(y≥0)上，则△PAB的面积的最小值为________．答案　2解析　由题意，得F(1,0)，直线AB的方程为y＝x－1.由，得x2－6x＋1＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝6，x1x2＝1，∴

51、AB

52、＝·＝8.设P(－，y0)，则点P到直线AB的距离为，∴△PAB的面积S＝＝≥2，即△PAB的面积的最小值是2.9．(2012·海淀期末)已知点M(1，y)在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，

53、M点到抛物线C的焦点F的距离为2，直线l：y＝－x＋b与抛物线C交于A，B两点．(1)求抛物线C的方程；(2)若以AB为直径的圆与x轴相切，求该圆的方程；(3)若直线l与y轴负半轴相交，求△AOB面积的最大值．解析　(1)抛物线y2＝2px(p>0)的准线为x＝－，由抛物线定义和已知条件可知

54、MF

55、＝1－(－)＝1＋＝2，解得p＝2，故所求抛物线方程为y2＝4x.(2)解法一　联立消去x并化简整理得y2＋8y－8b＝0.依题意应有Δ＝64＋32b>0，解得b>－2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝－8，y1y2＝－8b

56、.设圆心Q(x0，y0)，则应有x0＝，y0＝＝－4.因为以AB为直径的圆与x轴相切，得到圆的半径为r＝

57、y0

58、＝4，又

59、AB

60、＝＝＝＝所以

61、AB

62、＝2r＝＝8.解得b＝－.所以x1＋x2＝2