（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.7 抛物线 文

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1、【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习第九章平面解析几何9.7抛物线文1.抛物线的概念平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.2.抛物线的标准方程与几何性质标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴y＝0x＝0焦点FFFF离心率e＝1准线方程x＝－x＝y＝－y＝范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0

2、，x∈R开口方向向右向左向上向下【知识拓展】1.抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离PF＝x0＋，也称为抛物线的焦半径.2.y2＝ax的焦点坐标为，准线方程为x＝－.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.(　×　)(2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是(，0)，准线方程是x＝－.(　×　)(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.(　×　)(4)AB为抛物线y

3、2＝2px(p>0)的过焦点F(，0)的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝，y1y2＝－p2，弦长AB＝x1＋x2＋p.(　√　)(5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x2＝－2ay(a>0)的通径长为2a.(　√　)1.(2015·陕西改编)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为__________.答案　(1,0)解析　由于抛物线y2＝2px(p＞0)的准线方程为x＝－，由题意得－＝－1，p＝2，焦点坐标为.2

4、.已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，AF＝x0，则x0＝________.答案　1解析　由抛物线的定义，可得AF＝x0＋，∵AF＝x0，∴x0＋＝x0，∴x0＝1.3.已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0).若点M到该抛物线焦点的距离为3，则OM＝________.答案　2解析　设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，则点M(2，±2).∵焦点，点M到该抛物线焦点的距离为3，∴2＋4p＝9，解得p＝2(负值舍去)，故M(2，±2).∴OM＝＝2.4.(教材改编)已知抛

5、物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(－2，－4)，则该抛物线的标准方程为________________.答案　y2＝－8x或x2＝－y解析　设抛物线方程为y2＝2px(p≠0)，或x2＝2py(p≠0).将P(－2，－4)代入，分别得方程为y2＝－8x或x2＝－y.5.已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为________.答案　解析　∵A(－2,3)在抛物线y2＝2px的准线上，∴－＝－2，∴p＝4，∴y2＝8x，设直线A

6、B的方程为x＝m(y－3)－2，①将①与y2＝8x联立，即得y2－8my＋24m＋16＝0，②则Δ＝(－8m)2－4(24m＋16)＝0，即2m2－3m－2＝0，解得m＝2或m＝－(舍去)，将m＝2代入①②解得即B(8,8)，又F(2,0)，∴kBF＝＝.题型一　抛物线的定义及应用例1　已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求PA＋PF的最小值，并求出取最小值时点P的坐标.解　将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±.∵>2，∴A在抛物线内部，如图.设抛物线上点P到准线l：x＝－的距离为

7、d，由定义知PA＋PF＝PA＋d，当PA⊥l时，PA＋d最小，最小值为，即PA＋PF的最小值为，此时P点纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2，∴点P的坐标为(2,2).引申探究将本例中点A的坐标改为(3,4)，求PA＋PF的最小值.解　当P、A、F共线时，PA＋PF最小，PA＋PF≥AF＝＝＝.即PA＋PF的最小值为.思维升华　与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关.由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度.“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.

8、　(1)设抛物线x2＝12y的焦点为F，经过点P(2,1)的直线l与抛物线相交于A，B两点，又知点P恰为AB的中点，则AF＋BF＝________.(2)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，若B(3,2)，则PB＋PF的最小值为________.答案　(1)8　(2)4解析　(1)分别过点