高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1.3 空间向量基本定理学案苏教版选修2-1

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1、空间向量基本定理学习目的：⒈了解空间向量基本定理及其推论；⒉理解空间向量的基底、基向量的概念．理解空间任一向量可用空间不共面的三个已知向量唯一线性表出⒊学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、变化的，会用联系的观点看待事物．学习重点：向量的分解（空间向量基本定理及其推论）学习难点：空间作图．学习过程：一、复习引入：1.空间向量的概念：2.空间向量的运算3.平面向量共线定理4.共线向量如果，则这些向量叫做共线向量或平行向量．平行于记作．当我们说向量、共线（或//）时，表示、的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．

2、5.共线向量定理：.6.向量与平面平行：.7.共面向量定理：.二、讲解新课：1.空间向量基本定理：证明：（存在性）（唯一性）说明:(1)若三向量不共面,则所有空间向量组成的集合是，这个集合可以看作由向量生成的,所以我们把叫做空间的一个基底，叫做基向量;(2)空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底;(3)若空间一个基底的三个基向量是两两互相垂直,那么这个基底叫做正交基底.特别地,当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时,称这个基底为单位正交基底,通常用表示.推论：设是不共面的四点，则对空间任一点，都存在唯一的三个有序实数，使三、

3、讲解范例：例1、在正方体中，点是与的交点，是与的交点，试分别用向量表示向量例2、已知空间四边形，其对角线，分别是对边的中点，点在线段上，且，用基底向量表示向量，例3、如图，在平行六面体中，分别是的中点，请选择恰当的基底向量证明：（1）（2）平面四、课堂练习：课本88页练习五、课堂小结：空间向量基本定理也成为空间向量分解定理，它与平面向量基本定理类似，区别仅在于基底中多了一个向量，从而分解结果中多了一“项”.证明的思路、步骤也基本相同．空间向量基本定理的推论意在用分解定理确定点的位置，它对于今后用向量方法解几何问题很有用，也为今后学习空间

4、向量的直角坐标运算作准备．六、作业1:1．点O，A，B，C为空间不共面的四点，又，，为空间的一个基底，则下列命题中，正确的是（1）O，A，B，C四点不共线（2）O，A，B，C四点共面，但不共线（3）O，A，B，C中任意三点不共线(4)O，A，B，C四点不共线。2．向量组{，，}为空间的一个基底，若存在实数x，y，z，使得x+y+z=，则必有x+y+z=。3．已知向量组{，，}为空间的一个基底，若向量x+y+与+x+y共线，则x=，y=。4．在空间平移△ABC到△A'B'C'，连接对应顶点，设=，=，=，M是BC'的中点，N是B'C'的中

5、点，用基底{，，}表示向量等于5．已知O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量=++，向量=+−，则与，能构成空间基底的向量（1）（2）（3）（4）或6．设向量{，，}是空间的一个基底，设，给出下列向量组：,可以构成空间的基底的向量有个。7．已知{，，}为空间的一个基底，且=2−+3，=+2−，=−3++2，=+−。（1）判断P，A，B，C四点是否共面；（2）能否以{，，}作为空间的一个基底？若不能，说明理由；若能，试用这一基底表示向量。