高中数学函数的单调性最值和极值

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1、函数的单调性、最值和极值函数的单调性、最（极）值是高考的热点，新课程中函数的单调性、最（极）值的要求提高了，可能更会成为高考的热点、难点.在高考试题中，函数的单调性、极（最）值往往是以某个初等函数为载体出现，综合题往往与不等式、数列等联系起来，处理方法除了定义法之外，一般采用导数法.难度值控制在0.3～0.6之间.考试要求：①了解函数单调性的概念,掌握判断简单函数的单调性的方法；②了解函数单调性与导数的关系；③能求函数的最大（小）值；④掌握用导数研究函数的单调性.题型一已知函数的单调性、最（极）值，求参变量的值.例1设

2、函数.（1）若的两个极值点为且，求实数的值；（2）是否存在实数，使得是上的单调函数？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.点拨因为是三次函数，所以只要①利用“极值点的根”，转化为一元二次方程根的问题；②利用在上单调＞0（＜0），转化为判断一元二次函数图像能否在轴上方的问题.解（1）由已知有，从而,所以；（2）由，得总有两个不等的实根，不恒大于零，所以不存在实数，使得是上的单调函数.易错点①三次函数的极值点与原函数的导数关系不清；②含参变量的问题是逆向思维，学生易出现错误；③学生不会将在上是单调函数的问题转化为恒成立问题

3、.变式与引申1：(2011年高考江西卷理)设（1）若在上存在单调递增区间，求的取值范围；（2）当时，在上的最小值为，求在该区间上的最大值．题型二：已知最（极）值或其所在区域，通过单调性分析参变量的范围.例2已知函数．（1）若函数的图像过原点，且在原点处的切线斜率是-3，求a，b的值；（2）若函数在区间（1，1）上至少有一个极值点，求a的取值范围．点拔：第（1）问利用已知条件可得，求出a，b的值.第（2）问利用“极值点”的根转化为一元二次方程根的分布问题.解析：（1）由函数的图像过原点，得，又，在原点处的切线斜率是，则，

4、所以，或．（2）法一：由，得．又在上至少有一个极值点，即或解得或所以的取值范围是．法二：,由题意①必有一根在(-1,1)上,故,即,解得；或，则，当（舍去），当时，经检验符合题意；同理，则，经检验，均不符合题意，舍去.②有两个不同的根在(-1,1)上故解得：所以，a的取值范围.易错点：①解不等式出错；②第（2）问的解法一，不易分析.；③第（2）问的解法二，分类讨论，不易讨论完整.变式与引申2：将（2）中改为“在区间（1，1）上有两个极值点”，或改为“存在极值点，但在区间（1，1）上没有极值点”，如何求的取值范围？题型三

5、函数的单调性、最（极）值与不等式结合的问题例3设函数，已知和为的极值点．（1）求和的值；（2）讨论的单调性；（3）设，试比较与的大小．点拔此题是由指数函数与多项式函数等组合的超越函数，分析第（1）问先由极值点转化为方程的根，再用待定系数法；第（3）问中比较两个函数与的大小，可构造新函数，再通过分析函数的单调性来讨论与0的大小关系.解（1）因为，又和为的极值点，所以，因此解方程组得，．（2）因为，，所以，令，解得，，．因为当时，；当时，．所以在和上是单调递增的；在和上是单调递减的．（3）由（1）可知，故，令，则．令，得，

6、因为时，，所以在上单调递减．故时，；因为时，，所以在上单调递增．故时，．所以对任意，恒有，又，因此，故对任意，恒有．易错点①求导数时，易出错；②比较两个函数的大小属于不等式问题，学生容易只从不等式的简单知识出发，而无法从构造的新函数的单调性来分析.变式与引申3：将第（3）问改为：设，试证恒成立．本节主要考查：（1）用导数研究函数单调性,极值；（2）利用单调性、极值点与导数的关系解决一些综合问题；（3）方程与函数的转化,方程思想和函数思想综合应用；（4）数形结合思想.点评：（1）讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要

7、研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集；（2）求函数单调区间的常用方法：定义法、图像法、复合函数法、导数法等；（3）利用求导的方法研究函数的单调性、最（极）值，函数在区间上为单调问题转化为导函数在区间上的正负问题，从而转化为不等式问题，再而研究函数的最（极）值.需灵活应运用函数与方程思想、数形结合思想、化归思想和分类讨论思想等.习题1—31.已知：函数，若，，均不相等，且，则的取值范围是（）2.已知函数的定义域均为非负实数集，对任意的，规定.3.已知函数（1）设，求的单调区间；（2）设在区间(

8、2,3)上不单调，求的取值范围.4.已知函数，.（I）若曲线与曲线相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程；（II）设函数，当)存在最小值时，求其最小值的解析式；（III）对（2）中的，证明：当时，1.5.设函数，其中为常数．（1）当时，判断函数在定义域上的单调性；（2）时，求的极值点；（3）求证对任意不小于3的正整数