高中数学 2.1 数列学案 新人教b版必修5

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1、第二章　数　列§2.1　数　列1．从函数的观点看数列一方面，数列是一种特殊的函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题，即用共性来解决特殊问题．例如，类比单调函数的定义得出单调数列的判断方法．即：数列{an}单调递增⇔an＋1>an对任意n(n∈N*)都成立；数列{an}单调递减⇔an＋1

2、的初等函数一般都是连续的曲线．例如：已知an＝，则这个数列的前30项中最大项和最小项分别是(　　)A．a1，a30B．a1，a9C．a10，a9D．a10，a30解析　∵an＝＝＋1∴点(n，an)在函数y＝＋1的图象上．在直角坐标系中作出函数y＝＋1的图象．由图象易知当x∈(0，)时，函数单调递减．∴a9a11>…>a30>1.所以，数列{an}的前30项中最大的项是a10，最小的项是a9.答案　C2．了解一点周期数列的知识类比周

3、期函数的概念可以得出周期数列的定义：对于数列{an}，若存在一个大于1的自然数T(T为常数)，使an＋T＝an，对一切n∈N*恒成立，则称数列{an}为周期数列，T就是它的一个周期．易知，若T是{an}的一个周期，则kT(k∈N*)也是它的周期，周期最小的那个值叫最小正周期．例如：已知数列{an}中，a1＝a(a为正常数)，an＋1＝(n＝1,2,3，…)，则下列能使an＝a的n的数值是(　　)A．15B．16C．17D．18解析　a1＝a，a2＝，a3＝＝＝，a4＝＝＝a，a5＝＝，…….∴a4＝a1

4、，a5＝a2，…依次类推可得：an＋3＝an，∴{an}为周期数列，周期为3.∵a1＝a，∴a3k＋1＝a1＝a.答案　B3．数列的前n项和Sn与an的关系对所有数列都有：Sn＝a1＋a2＋…＋an－1＋an，Sn－1＝a1＋a2＋…＋an－1(n≥2)．因此，当n≥2时，有：an＝Sn－Sn－1.当n＝1时，有：a1＝S1.所以an与Sn的关系为：an＝.注意这一关系适用于所有数列．例如：已知数列{an}的前n项和Sn＝(n－1)·2n＋1，则an＝________.解析　当n＝1时，a1＝S1＝1，

5、当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝[(n－1)·2n＋1]－[(n－2)·2n－1＋1]＝(n－1)·2n－(n－2)·2n－1＝n·2n－1.所以通项公式可以统一为an＝n·2n－1.答案　n·2n－14．由简单的递推公式求通项公式(1)形如an＋1－an＝f(n)，且f(1)＋f(2)＋…＋f(n)可求和，采用累加法求an.即：an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝a1＋f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝a1＋f(i)(2)形如an＋1＝f(n)·an，且f(1)·

6、f(2)…f(n)可化简，采用累乘法求an.即an＝a1···…·＝a1·f(1)·f(2)·…·f(n－1)＝a1·f(i)(注：∑为连加求和符号，Π为连乘求积符号)(3)形如an＋1＝Aan＋B(AB≠0且A≠1)．设an＋1－x＝A(an－x)，则：an＋1＝Aan＋(1－A)x由(1－A)x＝B，∴x＝∴an＋1－＝A∴an－＝A＝A2＝…＝An－1∴an＝＋An－1＝(1－An－1)·＋An－1a1.一、观察法写数列的通项公式方法链接：根据数列前几项，要写出它的一个通项公式，其关键在于观察、分

7、析数列的前几项的特征、特点，找到数列的一个构成规律．根据此规律便可写出一个相应的通项公式．注意以下几点：(1)为了突出显现数列的构成规律，可把序号1,2,3，…标在相应项上，这样便于突出第n项an与项数n的关系，即an如何用n表示．(2)由于给出的数列的前几项是一些特殊值，必然进行了化简，因此我们要观察出它的构成规律，就必须要对它进行还原工作．如数列的前几项中均用分数表示，但其中有几项分子或分母相同，不妨把这几项的分子或分母都统一起来试一试．(3)当一个数列出现“＋”、“－”相间时，应先把符号分离出来，

8、即用(－1)n或(－1)n－1表示，然后再考虑各项绝对值的规律．(4)熟记一些基本数列的前几项以及它们的变化规律(如增减速度)，有利于我们写出它的通项公式．例1　根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：(1)，，，，…；　　(2)，2，，8，，…；(3)1,3,6,10,15，…；(4)7,77,777，…；(5)0,3,8,15,24，…；(6)1，，，，，….解　(1)注意前四项中有两项的分子为4，不妨把分子统一为4，即为，，，