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1、求导在解高考数学函数压轴题中的应用【理·2010全国卷一第20题】已知函数.（Ⅰ）若，求的取值范围；（Ⅱ）证明：先看第一问，首先由可知函数的定义域为，易得则由可知，化简得，这时要观察一下这个不等式，显然每一项都有因子，而又大于零，所以两边同乘可得，所以有，再对求导有，即当＜＜时，＞0，在区间上为增函数；当时，；当＜时，＜0，在区间上为减函数。所以在时有最大值，即。又因为，所以。再看第二问。要证，只须证当＜时，；当＜时，＞即可。由上知，但用去分析的单调性受阻。我们可以尝试再对求导，可得，显然当＜时，；当＜时，
2、＞，即在区间上为减函数，所以有当＜时，，我们通过二次求导分析的单调性，得出当＜时，则在区间上为增函数，即，此时，则有成立。下面我们再接着分析当＜时的情况，同理，当＜时，＞，即在区间上为增函数，则，此时，为增函数，所以求导在解高考数学函数压轴题中的应用10，易得也成立。综上，得证。【理·2010安徽卷第17题】（本小题满分12分）设为实数，函数。（Ⅰ）求的单调区间与极值；（Ⅱ）求证：当＞且＞时，＞。第一问很常规，我们直接看第二问。首先要构造一个新函数，如果这一着就想不到，那没辙了。然后求导，结果见下表。，继续
3、对求导得减极小值增由上表可知，而，由＞知＞，所以＞，即在区间上为增函数。于是有＞，而，故＞，即当＞且＞时，＞。【理·2012东北三校高考第一次模拟考试第21题】（本小题满分12分）已知函数。（1）设a=1，讨论的单调性；（2）若对任意，，求实数a的取值范围。解：（Ⅰ），，定义域为．求导在解高考数学函数压轴题中的应用10．……2分设，则．因为，，所以在上是减函数，又，于是，，；，，．所以的增区间为，减区间为．……6分（Ⅱ）由已知，因为，所以．（1）当时，．不合题意．……8分（2）当时，，由，可得．设，则，．．
4、设，方程的判别式．若，，，，在上是增函数，又，所以，．……10分若，，，，所以存在，使得，对任意，，，在上是减函数，又，所以，．不合题意．综上，实数的取值范围是．……12分【理·2010山东第22题】(本小题满分14分)已知函数.(Ⅰ)当时，讨论的单调性；（Ⅱ）设当时，若对任意，存在，使求导在解高考数学函数压轴题中的应用10，求实数取值范围.（Ⅱ）当时，在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，所以对任意，有，又已知存在，使，所以，，即存在，使，即，即，求导在解高考数学函数压轴题中的应用10所以，解得
5、，即实数取值范围是。21．（本小题满分12分）设函数，．（Ⅰ）当时，证明在是增函数；（Ⅱ）若，，求的取值范围．解：（1），当时,,---------2分令，则，当时，，所以在为增函数，因此时，，所以当时，，则在是增函数.---------6分(2)由,由(1)知,当且仅当等号成立.故,从而当,即时,对,,于是对.由得,从而当时,故当时,,于是当时,,综上,的取值范围是.---------12分21.(本小题满分12分)已知函数.（1）当且时，试用含的式子表示，并讨论的单调区间；求导在解高考数学函数压轴题中的
6、应用10（2）若有零点,，且对函数定义域内一切满足
7、x
8、≥2的实数x有≥0.①求的表达式；②当时，求函数的图象与函数的图象的交点坐标.解：（1）………………2分由，故时由得的单调增区间是，由得单调减区间是同理时，的单调增区间，，单调减区间为5分（2）①由（1）及（i）又由有知的零点在内，设，则，结合（i）解得，…8分∴………………9分②又设，先求与轴在的交点∵，由得故，在单调递增又，故与轴有唯一交点即与的图象在区间上的唯一交点坐标为为所求…………12分求导在解高考数学函数压轴题中的应用1021．（本小题满分
9、12分）已知函数（1）当时，求的单调递减区间；（2）若当时，恒成立，求的取值范围；（3）求证：解：(Ⅰ)当时的单调递减区间为…………………………………4分(Ⅱ)由得记当时在递减又…………………………………………………………8分（Ⅲ）由(Ⅱ)知取得即……12分21.（本小题满分12分）已知函数.⑴讨论函数的单调性；⑵对于任意正实数，不等式恒成立，求实数的取值范围；⑶是否存在最小的正常数，使得：当时，对于任意正实数，不等式恒成立？给出你的结论，并说明结论的合理性.求导在解高考数学函数压轴题中的应用10【试题解析
10、】⑴令,得.当时，；当时，.所以函数在上单调递减，在上单调递增.(3分)⑵由于，所以.构造函数，则令，得.当时，；当时，.所以函数在点处取得最小值，即.因此所求的的取值范围是.(7分)⑶结论：这样的最小正常数存在.解释如下：.构造函数，则问题就是要求恒成立.(9分)对于求导得.令，则，显然是减函数.又，所以函数在上是增函数，在上是减函数，而，，.所以函数在区间和上各有一个零点，令为和，并且有:在区间和上，即；在区
