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1、习题一2.求下列函数的定义域解:.(2)要使函数有意义,必须即所以函数的定义域是[-3,0)∪(0,1)..(4)要使函数有意义,必须即即或,(k为整数).也即(k为整数).所以函数的定义域是,k为整数.3.求函数的定义域与值域.25解:由已知显然有函数的定义域为(-∞,+∞),又当时,可以是不为零的任意实数,此时,可以取遍[-1,1]上所有的值,所以函数的值域为[-1,1].5.设,求.解:6.设,求和.解:8.求下列函数的反函数及其定义域:解:(1)由解得,所以函数的反函数为.(2)由得,所以,函数的反函数为.(3)由解得所以,函数的反函数为.(4
2、)由得,又,故.又由得,25即,故可得反函数的定义域为[0,2],所以,函数的反函数为.10.判断下列函数的奇偶性:解:(1)是偶函数.(2)函数是奇函数.13.邮局规定国内的平信,每20g付邮资0.80元,不足20g按20g计算,信件重量不得超过2kg,试确定邮资y与重量x的关系.解:当x能被20整除,即时,邮资;当x不能被20整除时,即时,由题意知邮资.综上所述有其中,分别表示不超过,的最大整数.14.已知水渠的横断面为等腰梯形,斜角=40°,如图所示.当过水断面ABCD的面积为定值S0时,求湿周L(L=AB+BC+CD)与水深h之间的函数关系式,
3、并指明其定义域.25图1-1解:从而.由得定义域为.16.证明:证:(1)由得解方程得,因为,所以,所以的反函数是18.对下列数列求,并对给定的确定正整数,使对所有,有:25解:,,要使,只须.取,则当时,必有.当时,或大于1000的整数.,,要使只要即即可.取,则当时,有.当时,或大于108的整数.19.根据数列极限的定义证明:证:,要使,只要.取,则当n>N时,恒有.故.(2),要使只要,取,则当n>N时,恒有.故.25(3),要使,只要,取,则当n>N时,恒有,从而.(4)因为对于所有的正整数n,有,故,不防设,要使只要取则当时,恒有故.20.若
4、,证明,并举反例说明反之不一定成立.证:,由极限的定义知,,当时,恒有.而,当时,恒有,由极限的定义知但这个结论的逆不成立.如但不存在.21.利用单调有界准则证明下列数列有极限,并求其极限值:证:(1),不妨设,则.故对所有正整数n有,即数列有上界.又显然有,又由得,从而即,即数列是单调递增的.25由极限的单调有界准则知,数列有极限.设,则,于是,(不合题意,舍去),.(2)因为,且,所以,即数列有界又由知与同号，从而可推得与同号，而故,即所以数列单调递增，由单调有界准则知，的极限存在.设,则，解得(不合题意，舍去).所以22.用函数极限定义证明：证：
5、(1),要使,25只须,取，则当时，必有,故.(2),要使,只须,取，则当时，必有,故.(3),要使,只要取，则当时，必有,故.(4),要使,只须，取，则25当时，必有故.23.求下列极限：(7)若，求a和b.解：.由无穷大与无穷小的关系知，.2524.解:因为由已知知，分式的分子与分母的次数相同，且x项的系数之比为，于是且解得.25.利用夹逼定理求下列数列的极限:其中为给定的正常数;解:而,当时,.(2)记则有即而故即.25(3)即而故.(4)而故.26.通过恒等变形求下列极限：解：2525而而(14)令则当时，.所以(利用(13)题的结果).27.
6、利用重要极限，求下列极限：解：25(6)令，则当时，.28.利用取对数的方法求下列幂指函数的极限：解：(2)令，则于是25即即故即.(3)令，则于是即从而故即.2531.利用或等价无穷小量求下列极限：解：(7)因为当时，,所以(8)因为当时，所以.(9)因为当时，,所以(10)因为当时，，所以25(11)因为当时，所以(12)因为当时，所以(13)因为而当时，故又当x→0进，所以(14)因为当时，故所以2533.研究下列函数的连续性，并画出图形：解：(1)由初等函数的连续性知，在（0，1），（1，2）内连续，又而，在处连续，又，由，知在处右连续，综上所
7、述，函数在[0，2)内连续.函数图形如下：图1-2(2)由初等函数的连续性知在内连续，又由知不存在，于是在处不连续.25又由及知，从而在x=1处连续，综上所述，函数在及内连续，在处间断.函数图形如下：图1-3(3)∵当x<0时，当x=0时，当x>0时，由初等函数的连续性知在内连续，又由知不存在，从而在处间断.综上所述，函数在内连续，在处间断.图形如下：图1-425(4)当
8、x
9、=1时，当
10、x
11、<1时，当
12、x
13、>1时，即由初等函数的连续性知在(－∞,－1),(－1,1),(1,+∞)内均连续，又由知不存在，从而在处不连续.又由知不存在，从而在处不连续.综
14、上所述，在(－∞,－1),(－1,1),(1,+∞)内连续，在处间断.图形如下：图1-534.
