2016高考数学专题复习导练测 第十章 第3讲 二项式定理 理 新人教a版

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1、第3讲二项式定理一、选择题1．二项式6的展开式中的常数项是(　　)A．20　　　　　　　　　B．－20C．160D．－160解析二项式(2x－)6的展开式的通项是Tr＋1＝C·(2x)6－r·r＝C·26－r·(－1)r·x6－2r.令6－2r＝0，得r＝3，因此二项式(2x－)6的展开式中的常数项是C·26－3·(－1)3＝－160.答案D2．若二项式n的展开式中第5项是常数项，则正整数n的值可能为(　　)．A．6B．10C．12D．15解析　Tr＋1＝C()n－rr＝(－2)rCx，当r＝4时，＝0，又

2、n∈N*，∴n＝12.答案　C3．已知8展开式中常数项为1120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是(　　)．A．28B．38C．1或38D．1或28解析　由题意知C·(－a)4＝1120，解得a＝±2，令x＝1，得展开式各项系数和为(1－a)8＝1或38.答案　C4．设n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M－N＝240，则展开式中x的系数为(　　)．A．－150B．150C．300D．－300解析　由已知条件4n－2n＝240，解得n＝4，Tr＋1＝C(5x)4－rr＝(－1)r5

3、4－rCx4－，令4－＝1，得r＝2，T3＝150x.答案　B5．设a∈Z，且0≤a<13，若512012＋a能被13整除，则a＝(　　)．A．0B．1C．11D．12解析　512012＋a＝(13×4－1)2012＋a被13整除余1＋a，结合选项可得a＝12时，512012＋a能被13整除．答案　D6．已知0

4、x

5、＝

6、logax

7、的实根个数为n，且(x＋1)n＋(x＋1)11＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a10(x＋2)10＋a11(x＋2)11，则a1＝(　　)．A．－1

8、0B．9C．11D．－12解析　作出y＝a

9、x

10、(a>0)与y＝

11、logax

12、的大致图象如图所示，所以n＝2.故(x＋1)n＋(x＋1)11＝(x＋2－1)2＋(x＋2－1)11，所以a1＝－2＋C＝－2＋11＝9.答案　B二、填空题7．18的展开式中含x15的项的系数为________(结果用数值表示)．解析　Tr＋1＝Cx18－rr＝(－1)rCrx18－r，令18－r＝15，解得r＝2.所以所求系数为(－1)2·C2＝17.答案　178．已知(1＋x＋x2)n的展开式中没有常数项，n∈N*且2≤n≤8

13、，则n＝________.解析　n展开式中的通项为Tr＋1＝Cxn－rr＝Cxn－4r(r＝0,1,2，…，8)，将n＝2,3,4,5,6,7,8逐个检验可知n＝5.答案　n＝59．若(cosφ＋x)5的展开式中x3的系数为2，则sin＝________.解析由二项式定理得，x3的系数为Ccos2φ＝2，∴cos2φ＝，故sin＝cos2φ＝2cos2φ－1＝－.答案－　10．设二项式6(a＞0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B.若B＝4A，则a的值是________．解析　由Tr＋1＝Cx6－rr＝C

14、(－a)rx6－r，得B＝C(－a)4，A＝C(－a)2，∵B＝4A，a＞0，∴a＝2.答案　2三、解答题11．已知二项式n的展开式中各项的系数和为256.(1)求n；(2)求展开式中的常数项．解　(1)由题意，得C＋C＋C＋…＋C＝256，即2n＝256，解得n＝8.(2)该二项展开式中的第r＋1项为Tr＋1＝C()8－r·r＝C·x，令＝0，得r＝2，此时，常数项为T3＝C＝28.12．已知等差数列2,5,8，…与等比数列2,4,8，…，求两数列公共项按原来顺序排列构成新数列{Cn}的通项公式．解　等差

15、数列2,5,8，…的通项公式为an＝3n－1，等比数列2,4,8，…的通项公式为bk＝2k，令3n－1＝2k，n∈N*，k∈N*，即n＝＝＝，当k＝2m－1时，m∈N*，n＝∈N*，Cn＝b2n－1＝22n－1(n∈N*)．13．已知(a2＋1)n展开式中的各项系数之和等于5的展开式的常数项，而(a2＋1)n的展开式的系数最大的项等于54，求a的值．解　5的展开式的通项为Tr＋1＝C5－r·r＝5－rCx，令20－5r＝0，得r＝4，故常数项T5＝C×＝16.又(a2＋1)n展开式的各项系数之和等于2n，由

16、题意知2n＝16，得n＝4.由二项式系数的性质知，(a2＋1)n展开式中系数最大的项是中间项T3，故有Ca4＝54，解得a＝±.14．已知n，(1)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．解　(1)∵C＋C＝2C，∴n2－21n＋98＝0.∴n＝7或n＝14，当n＝7时，展开式中二项式系数最大的项