数学竞赛教案讲义(3)——函数(1)

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1、第三章函数一、基础知识w.w.w.k.s.5.u.c.o.m定义1映射，对于任意两个集合A，B，依对应法则f，若对A中的任意一个元素x，在B中都有唯一一个元素与之对应，则称f:A→B为一个映射。定义2单射，若f:A→B是一个映射且对任意x,y∈A,xy,都有f(x)f(y)则称之为单射。定义3满射，若f:A→B是映射且对任意y∈B，都有一个x∈A使得f(x)=y，则称f:A→B是A到B上的满射。定义4一一映射，若f:A→B既是单射又是满射，则叫做一一映射，只有一一映射存在逆映射，即从B到A由相反的对应法则f-1构成的映射，记作f-1:A→B。定义5函数，映射f:A→B中，若A，B都是非空数

2、集，则这个映射为函数。A称为它的定义域，若x∈A,y∈B，且f(x)=y（即x对应B中的y），则y叫做x的象，x叫y的原象。集合{f(x)

3、x∈A}叫函数的值域。通常函数由解析式给出，此时函数定义域就是使解析式有意义的未知数的取值范围，如函数y=3-1的定义域为{x

4、x≥0,x∈R}.定义6反函数，若函数f:A→B（通常记作y=f(x)）是一一映射，则它的逆映射f-1:A→B叫原函数的反函数，通常写作y=f-1(x).这里求反函数的过程是：在解析式y=f(x)中反解x得x=f-1(y)，然后将x,y互换得y=f-1(x)，最后指出反函数的定义w.w.w.k.s.5.u.c.o.m域即原函数

5、的值域。例如：函数y=的反函数是y=1-(x0).定理1互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称。定理2在定义域上为增（减）函数的函数，其反函数必为增（减）函数。定义7函数的性质。（1）单调性：设函数f(x)在区间I上满足对任意的x1,x2∈I并且x1f(x2))，则称f(x)在区间I上是增（减）函数，区间I称为单调增（减）区间。（2）奇偶性：设函数y=f(x)的定义域为D，且D是关于原点对称的数集，若对于任意的x∈D，都有f(-x)=-f(x)，则称f(x)是奇函数；若对任意的x∈D，都有f(-x)=f(x)，则称f(x)是偶函数。奇函

6、数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称。（3）周期性：对于函数f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内每一个数时，f(x+T)=f(x)总成立，则称f(x)为周期函数，T称为这个函数的周期，如果周期中存在最小的正数T0，则这个正数叫做函数f(x)的最小正周期。定义8如果实数a

7、a

8、a≤x≤b,x∈R}记作闭区间[a,b]，集合{x

9、a

10、a≤x

11、x>a}记作开区间（a,+∞），集合{x

12、x≤a}记作半开半闭区间（

13、-∞,a].定义9函数的图象，点集{(x,y)

14、y=f(x),x∈D}称为函数y=f(x)的图象，其中D为f(x)的定义域。通过画图不难得出函数y=f(x)的图象与其他函数图象之间的关系(a,b>0)；（1）向右平移a个单位得到y=f(x-a)的图象；（2）向左平移a个单位得到y=f(x+a)的图象；（3）向下平移b个单位得到y=f(x)-b的图象；（4）与函数y=f(-x)的图象关于y轴对称；（5）与函数y=-f(-x)的图象关于原点成中心对称；（6）与函数y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称；（7）与函数y=-f(x)的图象关于x轴对称。定理3复合函数y=f[g(x)]的单调性，记

15、住四个字：“同增异减”。例如y=,u=2-x在（-∞,2）上是减函数，y=在（0，+∞）上是减函数，所以y=在（-∞,2）上是增函数。注：复合函数单调性的判断方法为同增异减。这里不做严格论证，求导之后是显然的。二、方法与例题1．数形结合法。例1求方程

16、x-1

17、=的正根的个数.例2求函数f(x)=的最大值。2函数性质的应用。例3设x,y∈R，且满足，求x+y.例4奇函数f(x)在定义域（-1，1）内是减函数，又f(1-a)+f(1-a2)<0，求a的取值范围。例5设f(x)是定义在（-∞，+∞）上以2为周期的函数，对k∈Z,用Ik表示区间(2k-1,2k+1]，已知当x∈I0时，f(x)=x

18、2，求f(x)在Ik上的解析式。例6解方程：(3x-1)()+(2x-3)(+1)=0.3.配方法。例7求函数y=x+的值域。4．换元法。例8求函数y=(++2)(+1),x∈[0,1]的值域。5．判别式法。例9求函数y=的值域。6．关于反函数。例10若函数y=f(x)定义域、值域均为R，且存在反函数。若f(x)在(-∞,+∞)上递增，求证：y=f-1(x)在(-∞,+∞)上也是增函数。例11设函数f(x)=，解方程：f