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1、2011届A班辅导资料（2）函数导数综合问题（二）【例1】已知函数（，实数，为常数）.（Ⅰ）若，求函数的极值；（Ⅱ）若，讨论函数的单调性．【例1】解：（Ⅰ）函数，则，令，得（舍去），.当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；∴在处取得极小值.（Ⅱ）由于，则，从而，则令，得，.当，即时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；…8分①当，即时，列表如下：所以，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为；当，即时，函数的单调递增区间为；②当，即时，列表如下：第9页2011届A班辅导资料（2）所以函数的单调递增区间为，，单调递减
2、区间为；综上：当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为.【例2】已知函数定义域为(),设.(Ⅰ)试确定的取值范围,使得函数在上为单调函数；(Ⅱ)求证:；(Ⅲ)求证:对于任意的,总存在,满足,并确定这样的的个数.【例2】解：(Ⅰ)因为由；由,所以在上递增,在上递减欲在上为单调函数,则证:(Ⅱ)因为在上递增,在上递减,所以在处取得极小值，又,所以在上的最小值为从而当时,,即.(Ⅲ)证:因为,所以即为,令,
3、从而问题转化为证明方程=0在上有解,并讨论解的个数.因为,,所以第9页2011届A班辅导资料（2）①当时,,所以在上有解,且只有一解②当时,,但由于,所以在上有解,且有两解③当时,,所以在上有且只有一解；当时,,所以在上也有且只有一解综上所述,对于任意的,总存在,满足,且当时,有唯一的适合题意；当时,有两个适合题意【例3】在直角坐标平面内，已知三点、、共线，函数满足：（1）求函数的表达式；（2）若，求证：；（3）若不等式对任意及任意都成立，求实数的取值范围。基础大题自测（二）1、如图，三棱柱A1B1C1—ABC的三视图中
4、，主视图和左视图是全等的矩形，俯视图是等腰直角三角形，已知点M是A1B1的中点.（1）求证：B1C∥平面AC1M；（2）设AC与平面AC1M的夹角为θ，求sinθ.第9页2011届A班辅导资料（2）2、如图（甲），在直角梯形ABED中，AB//DE，ABBE，ABCD,且BC=CD,AB=2,F、H、G分别为AC,AD,DE的中点，现将△ACD沿CD折起，使平面ACD平面CBED,如图（乙）．（1）求证：平面FHG//平面ABE；（2）记表示三棱锥B－ACE的体积，求的最大值；（3）当取得最大值时，求二面角D－AB－C的
5、余弦值．函数导数综合问题（二）参考答案：【例1】解：（Ⅰ）函数，则，令，得（舍去），.当时，，函数单调递减；第9页2011届A班辅导资料（2）当时，，函数单调递增；∴在处取得极小值.（Ⅱ）由于，则，从而，则令，得，.当，即时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；…8分①当，即时，列表如下：所以，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为；当，即时，函数的单调递增区间为；②当，即时，列表如下：所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为；综上：当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区
6、间为；当时，函数的单调递增区间为；第9页2011届A班辅导资料（2）当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为.【例2】解：(Ⅰ)因为由；由,所以在上递增,在上递减欲在上为单调函数,则证:(Ⅱ)因为在上递增,在上递减,所以在处取得极小值，又,所以在上的最小值为从而当时,,即.(Ⅲ)证:因为,所以即为,令,从而问题转化为证明方程=0在上有解,并讨论解的个数.因为,,所以①当时,,所以在上有解,且只有一解②当时,,但由于,所以在上有解,且有两解③当时,,所以在上有且只有一解；当时,,所以在上也有且只有一解综上所述,对于任意
7、的,总存在,满足,且当时,有唯一的适合题意；当时,有两个适合题意【例3】解：（1）∵三点共线且∴由得故（2）证明：记则第9页2011届A班辅导资料（2）∵时在上是单调增函数故即成立（3）记则由又知时取的最大值，且故原命题可化为对任意都有：恒成立记知时恒成立或基础大题自测（2）参考答案1、解：由三视图可知三棱柱A1B1C1—ABC为直三棱柱，侧梭长为2，底面是等腰直角三角形，AC=BC=1.…………2分如图建立空间直角坐标系C—xyz，则C（0，0，0），C1（0，0，2），A（1，0，0），B1（0，1，2），A1（1，
8、0，2）∵M为A1B1中点，…………………………4分（1）……………………6分∥面AC1M，又∵B1C面AC1M，∴B1C∥面AC1M.…………………………8分（2）设平面AC1M的一个法向量为…………………………………………………………10分第9页2011届A班辅导资料（2）则…………12分2、解：（1）证明：由图
