变系数线性常微分方程的求解

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1、变系数线性常微分方程的求解张慧敏，数学计算机科学学院摘要：众所周知，所有的常系数一阶、二阶微分方程都是可解的，而变系数二阶线性微分方程却很难解，至今还没有一个普遍方法。幂级数解法是一个非常有效的方法，本文重点讨论二阶变系数线性常微分方程的解法，从幂级数解法、降阶法、特殊函数法等方面探究了二阶微分方程的解法，简单的介绍了几种高阶微分方程的解法，并讨论了悬链线方程等历史名题。关键词：变系数线性常微分方程；特殊函数；悬链线方程；幂级数解法Solvinglinearordinarydifferentialequationswithvariable

2、coefficientsHuiminZhang,SchoolofMathematicsandComputerScienceAbstract：Asweknow,allofordinarydifferentialequationsoffirst,secondorderdifferentialequationswithconstantcoefficientsaresolvable.However,thelineardifferentialequationsofsecondorderwithvariablecoefficientsareveryd

3、ifficulttosolve.Sofarthereisnotauniversalmethod.Themethodofpower-seriessolutionisaveryefficientmethod.Thisarticlefocusesonsolvinglinearordinarydifferentialequationsofsecondorderwithvariablecoefficients,andexploringthesolutionofintermsofpower-seriessolution,themethodofredu

4、cingorders,themethodofspecialfunctions.Also,thispaperappliestheabovemethodstosolveseverallineardifferentialequationsofhigherorderandespeciallydiscussesthefamouscatenaryequation.Keywords：Linearordinarydifferentialequationswithvariablecoefficients;SpecialFunctions;catenarye

5、quation;PowerSeriesSolution.I前言随着科学的发展和社会的进步，常微分方程在越来越多的领域内有着重要的作用，例如化学，生物学，自动控制，电子技术等，都提出了大量的微分方程问题，同样在社会科学的领域也存在着微分方程问题。此外，微分方程与数学的其他分支的关系也是非常密切的，他们往往互相联系，互相促进，例如几何学就是常微分方程理论的丰富源泉之一和有力工具，对微分方程的发展产生了深刻的影响。反过来，微分方程进一步发展的需要，也推动着其他数学分支的发展。众所周知，所有的常系数一阶、二阶微分方程都是可解的，而变系数二阶线性微

6、分方程却很难解，除了近似解法外，至今还没有一个普遍方法。因此，变系数二阶线性微分方程的求解在微分方程理论之中有着十分重要的地位，寻求一种简便的计算方法是完全有必要的。14第一部分二阶线性微分方程的解法探究一、幂级数解法⑴一般微分方程的幂级数解法二阶变系数齐次线性微分方程的求解问题可归结为寻求它的一个非零解。由于方程的系数是自变量的函数，我们不能用之前的代数方法去求解。但是，从微积分学中知道，在满足某些条件下，可以用幂级数来表示一个函数。因此，自然想到，能否用幂级数来表示微分方程的解，下面先以两个例子来探讨一下。例1.1.1求方程的满足初值

7、条件及的解。【2】解设(1.1)为方程的解。首先，利用初值条件，可以得到，因而将的表达式代入原方程，合并的各同次幂的项，并令各项系数等于零，得到因而最后得对一切正整数成立。将的值代回（1.1）就得到14这就是方程的满足所给初值条件的解。在上例中方程显然满足定理的条件，系数和可看作是在全数轴上收敛的幂级数，故方程的解也在全数轴上收敛。但有些方程却未必，例如阶贝塞尔方程(1.2)这里为非负常数,不一定是正整数。在此⑵阶贝塞尔方程例1.1.2求解阶贝塞尔方程（1.2）。【2】解将方程改写成易见，按展成的幂级数收敛区间为从而方程有形如(1.3)的

8、解，这里而和是待定常数。将（1.3）代入（1.2）中，得把同次幂项归在一起，上式变为令各项的系数等于零，得一系列的代数方程(1.4)因为故从（1.4）的第一个方程解得的两个值和先考虑14时方程