变化率与导数(3)

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1、课时教案编号：授课教师甘老师地点时间学生年级高二科目数学（理科）课题1.1变化率与导数教学目标（1）理解平均变化率的概念；（2）了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；（3）理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；（4）会求函数在某点的导数或瞬时变化率；（5）理解导数的几何意义。教学重点瞬时速度、瞬时变化率的概念及导数概念的形成，导数及几何意义的理解。教学难点在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率，导数及几何意义的理解。教学过程一、双基回眸科学导入：前面我们学习了函数及几种重要的函数，而且我们学习的很多公式所展示的两个量之间的关系也是函数关系：下面找两个学生写出著名的

2、函数——二次函数的表达式和球的体积公式：n二次函数n气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是函数很明确地描述了两个变量之间的因果关系。自变量的变化引起因变量的变化。下面我们来看这种变化的各种特点：相信你都玩过气球吧,我们回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内气体的容量的增加,气球的半径增加的越来越慢,从数学角度,如何描述这种现象呢?容量的增加与气球的半径增加这两者的变化的关系和本质是怎样呢？今天，我们就来通过此问题来研究这种变化的特点和规律。二、创设情境积极探究：【首先来探究上面所提出的问题】我们已经提问过了气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之

3、间的函数关系是现将半径r表示为体积V的函数,那么教学课程【分析】，⑴当V从0增加到1时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为⑵当V从1增加到2时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．【思考】当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?【再来探究一个问题——高台跳水】在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?思考计算：和的平均速度在这段时间里，；在这段时间里，【探究】计算运动员

4、在这段时间里的平均速度，并思考以下问题：⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？【探究过程】如图是函数h(t)=-4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知，，所以，虽然运动员在这段时间里的平均速度为，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．教学过程【引出平均变化率的概念】一般地，函数f(x)在区间上的平均变化率为①本质：如果函数的自变量的“增量”为,且,相应的函数值的“增量”为,,则函数从到的平均变化率为②几何意义：两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))连线的斜率（割线的斜率）；

5、③平均变化率反映了在函数在某个区间上平均变化的趋势（变化快慢），或说在某个区间上曲线陡峭的程度；【但我们想要知道的是在某处的瞬时速度】下面继续探索：我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。在高台跳水运动中，如果我们知道运动员相对于水面的高度（单位：）与起跳后的时间（单位：）存在关系，那么我们就会计算任意一段的平均速度，通过平均速度来描述其运动状态，但用平均速度不一定能反映运动员在某一时刻的瞬时速度

6、，那么如何求运动员的瞬时速度呢？问题：2秒时的瞬时速度是多少？我们现在会算任意一段的平均速度，先来观察一下2秒附近的情况。时，在这段时间内时，在这段时间内当0.01时，13.051；当0.01时，13.149；当0.001时，13.0951；当0.001时，13.1049；当0.0001时，13.09951；当0.0001时，13.10049；当0.00001时，13.099951；当0.00001时，13.100049；当0.000001时，13.0999951；当0.000001时，13.1000049；。。。。。。。。。。。。教学过程问题：1你能描述一下你算得的这些数据的变化

7、规律吗？关于这些数据，下面的判断对吗？2．当趋近于0时，即无论从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度都趋近于一个确定的值-13.1。3．靠近-13.1且比-13.1大的任何一个数都可以是某一段上的平均速度；4．靠近-13.1且比-13.1小的任何一个数都可以是某一段上的平均速度；5．-13.1表示在2秒附近，运动员的速度大约是-13.1。分析:秒时有一个确定的速度，2秒附近的任何一段上的平均速度都不等于瞬时速度，所以比-13.1大的数作为2秒的瞬时速度