2013中考数学 压轴题一元二次方程精选解析（三）

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1、2013中考数学压轴题一元二次方程精选解析(三)例8．已知关于x的方程x2－4

2、x

3、＋3＝k．（1）当k为何值时，方程有4个互不相等的实数根？（2）当k为何值时，方程有3个互不相等的实数根？（3）当k为何值时，方程有2个互不相等的实数根？（4）是否存在实数k，使得方程只有1个实数根？若存在，求k的值和方程的根；若不存在，请说明理由．解析：（1）令t＝

4、x

5、，则原方程化为：t2－4t＋3－k＝0△＝(－4)2－4(3－k)＝4k＋41分要使原方程有四个互不相等的实数根，则方程t2－4t＋3－k＝0必须有

6、两个不相等的实数根∴4k＋4＞0，∴k＞－12分同时t1·t2＝3－k＞0，∴k＜33分∴当－1＜k＜3时，原方程有4个互不相等的实数根4分（2）要使原方程有3个互不相等的实数根，则方程t2－4t＋3－k＝0必须有一个零根和一个正根∴4k＋4＞0，∴k＞－15分同时t1·t2＝3－k＝0，∴k＝36分∴当k＝3时，原方程有3个互不相等的实数根7分（3）要使原方程有2个互不相等的实数根，则方程t2－4t＋3－k＝0必须只有一个非零根∴4k＋4＝0，∴k＝－18分且当x＝0时，3－k≠0，即k≠39分∴当

7、k＝－1时，原方程有2个互不相等的实数根10分（4）要使原方程只有1个实数根，则方程t2－4t＋3－k＝0必须有两个零根∴4k＋4＝0，∴k＝－111分同时t1·t2＝3－k＝0，∴k＝312分∴不存在符合条件的k值13分例9．已知x1，x2是关于x的一元二次方程4x2＋4(m－1)x＋m2＝0的两个非零实数根，则x1与x2能否同号？若能同号，请求出相应的m的取值范围；若不能同号，请说明理由．解析：∵关于x的一元二次方程4x2＋4(m－1)x＋m2＝0有两个非零实数根∴△＝[4(m－1)]2－4×4m

8、2＝－32m＋16≥0∴m≤又x1＋x2＝1－m，x1x2＝m2当x＋3＝0时，－m＝0，m＝0假设x1，x2能同号，则有以下两种可能：①若x1＞0，x2＞0，则：即解得m＜1且m≠0此时m的取值范围是m≤且m≠0②若x1＜0，x2＜0，则：即解得m＞1（不合题意，舍去）故当m≤且m≠0时，方程的两个实数根同号例10．已知α、β为关于x的方程x2－2mx＋3m＝0的两个实数根，且(α－β)2＝16，如果关于x的另一个方程x2－2mx＋6m－9＝0的两个实数根都在α和β之间，求m的值．解析：∵α、β为方

9、程x2－2mx＋3m＝0的两个实数根∴α＋β＝2m，αβ＝3m∵(α－β)2＝16，∴(α＋β)2－4αβ＝16∴4m2－12m＝16，解得m1＝－1，m2＝4方法一：①当m1＝－1时方程x2－2mx＋3m＝0化为：x2＋2x－3＝0，解得：α＝－3，β＝1方程x2－2mx＋6m－9＝0化为：x2＋2x－15＝0，解得：x1＝－5，x2＝3∵－5和3都不在－3和1之间，∴m＝－1不合题意，舍去②当m＝4时方程x2－2mx＋3m＝0化为：x2－8x＋12＝0，解得：α＝2，β＝6方程x2－2mx＋6m－

10、9＝0化为：x2－8x＋15＝0，解得：x1＝3，x2＝5∵3和5都在2和6之间，∴m＝4综合①②可得m＝4方法二：设y＝x2－2mx＋6m－9，则该函数的图象为开口向上的抛物线∵方程x2－2mx＋6m－9＝0的两个实数根都在α和β之间∴两式相加得α2＋β2－2m(α＋β)＋12m－18＞0即(α＋β)2－2αβ－2m(α＋β)＋12m－18＞0∴4m2－6m－4m2＋12m－18＞0，∴m＞3∴m＝4