高中数学 第二章 平面向量 2.3 平面向量基本定理及坐标表示小结导学案新人教a版必修4

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1、2.3平面向量基本定理及坐标表示【学习目标】1.了解平面向量的基本定理及其意义；掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．2．会用坐标表示平面向量的线性运算；会用坐标表示的平面向量共线的条件.【知识重温】1．平面向量基本定理如果e，e是同一平面内的两个______向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有12且只有一对实数，，使a＝__________.向量e，e叫做表示这一平面内所有向量的1212一组基底.2．平面向量的坐标表示在平面直角坐标系内，分别取与x轴、y轴______的两个单位向量i、j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y，使得a＝______

2、____，则有序数对(x、y)叫做向量a的坐标，记作__________，其中x，y分别叫做a在x轴、y轴上的坐标，a＝(x，y)叫做向量a的坐标表示。相等的向量其______相同，______相同的向量是相等向量．3．平面向量的坐标运算(1)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝__________________，2)已知a＝(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a＋b=____________，a－b=___________，λa＝___________；a∥b(b≠0)______________.(3)a＝(x1，y1)，b=(x2，y2)，a＝b

3、⇔________________.思考感悟1．基底的不唯一性只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，故基底的选取是不唯一。平面内任意向量a都可被这个平面的一组基底e，e线性表示，且在基底确定后，这12样的表示是唯一的．2．向量坐标与点的坐标区别在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OA＝a，此时点A的坐标与a的坐标统一为(x，y)，但应注意其表示形式的区别，如点A(x，y)，向量a＝OA＝(x，y)．当平面向量OA平行移动到OA时，向量不变即OA＝OA＝(x，y)，但OA的起111111点O1和终点A1的坐标都发生了变化．对点练习：11．已知向量OA=(1，－2)

4、，OB=(－3,4)，则AB等于()2A．(－2,3)B．(2，－3)C．(2,3)D．(－2，－3)2．已知向量a=(1,1)，b=(2，x)，若a＋b与4b－2a平行，则实数x的值是()A．－2B．0C．1D．23．已知向量a=(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ＝()11A.B.42C．1D．24．下列各组向量中，能作为基底的是()①a=(1,2)，b＝(2,4)②a=(1,1)，b＝(－1，－1)③a=(2，－3)，b＝(－3,2)④a=(5,6)，b=(7,8)．A．①②B．②③C．③④D．②④【自学探究】考点一平面向量

5、基本定理例1、如图所示，在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知AM＝c，AN＝d，试用c，d表示AB，AD.规律总结：应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．解题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．12变式1：如图，在△ABC中，AN＝NC，P是BN上的一点，若AP＝mAB＋AC，311则实数m的值为__________．考点二平面向量的坐标运算例2、已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，设AB＝a，BC＝b，CA＝c，且C

6、M＝3c，CN＝－2b.(1)求3a＋b－3c；(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；(3)求M，N的坐标及向量MN的坐标．规律总结：若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及运算法则的正确使用．变式2在ABCD中，AC为一条对角线，若AB＝(2,4)，AC＝(1,3)，则BD＝()A．(－2，－4)B．(－3，－5)C．(3,5)D．(2,4)考点三平面向量共线的坐标表示例3、平面内给定三个向量a＝(3,2)，b=(－1,2)，c＝(4,1)．回答下列问题：(1)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k；(2)设d＝(x，y)满

7、足(d－c)∥(a＋b)且

8、d－c

9、＝1，求d.规律总结：用坐标来表示向量平行，实际上是一种解析几何(或数形结合)的思想，其实质是用代数(主要是方程)计算来代替几何证明，这样就把抽象的逻辑思维转化为了计算．变式3、(1)(2013·陕西卷)已知向量a＝(1，m)，b=(m,2)，若a∥b，则实数m等于()A．－2B.2C．－2或2D．0(2)已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为__________．【课堂小结】1．平面向量基本定理的本质是运用向量加法