高中数学 第三章 基本不等式典型例题素材 北师大版必修5

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1、典型例题【例1】 已知x,y都是正数,求证:(1)≥2;(2)(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥8x3y3.【例2】(1)若x>0,求的最小值;    (2)若x<0,求的最大值.参考答案例1:【分析】利用基本不等式进行证明.【解】∵x,y都是正数,     ∴>0,0,x2>0,y2>0,x3>0,y3>0.(1)=2即≥2.(2)x+y≥>0,x2+y2≥>0,x3+y3≥>0,∴(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥··=8x3y3.即(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥8x3y3

2、.【点拨】在运用定理时,注意条件a,b均为正数,结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件),进行变形.例2【分析】本题(1)x>0和=36两个前提条件;(2)中x<0,可以用-x>0来转化.【解】(1) 因为x>0由基本不等式得,当且仅当,即x=时,取最小值12.(2)因为x<0, 所以-x>0,由基本不等式得所以.当且仅当即x=时,取得最大-12.【点拨】利用基本不等式求最值时,个项必须为正数,若为负数,则添负号变正.

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