高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.1 命题与量词 1.1.2 量词课后导练 新人教b版选修1-1

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1、1.1.2量词课后导练基础达标1.下列存在性命题中假命题的个数是(　　)①有的实数是无限不循环小数　②有些三角形不是等腰三角形　③有的菱形是正方形A.0B.1C.2D.3答案：A2.下列存在性命题中真命题的个数是(　　)①x∈R,x≤0　②至少有一个整数，它既不是合数，也不是质数　③x∈{x

2、x是无理数}，x2是无理数A.0B.1C.2D.3答案：D3.下列全称命题中假命题的个数是(　　)①2x+1是整数(x∈R)　②对所有的x∈R，x＞3　③对任意一个x∈Z，2x2+1为奇数A.0B.1C.2D.3答案：C4.下列命题为存在性命题的是(　　)A.

3、偶函数的图象关于y轴对称B.正四棱柱都是平行六面体C.不相交的两条直线是平行直线D.存在实数大于等于3答案：D5.下列命题正确的是(　　)A.对于实数q＜1，方程x2+2x+q=0有实数根B.有一个实数大于0且小于0C.不存在一个实数其相反数是它本身D.四边形的两条对角线互相垂直，则四边形为正方形答案：A6.(1)命题“x∈R,x2-x+3＞0”的否定是_______.(2)命题“x∈R,x2+1＜0”的否定是_______.答案：(1)x∈R,x2-x+3≤0　(2)x∈R,x2+1≥07.命题“有理数的平方仍是有理数”用符号“”写成全称命题为_

4、______.答案：x∈{x

5、x是有理数}，x2∈{x

6、x是有理数}8.下列叙述正确的命题序号是_______.①x,y∈N，如果+y2=0，则x=0∧y=0；②设P(x)：2x＞x2，则P(4)是真命题；③“每一个向量都有方向”是命题；④若P(x)：sinx＞cosx为真命题，则x∈(,).解析：①中由+y2=0x=0且y=0,正确.②中P（4）：24＞43错误.③正确.④中x的范围是（2kπ+,2kπ+)(k∈Z)答案：①③9.用符号“”与“”表示下面含有量词的命题.(1)实数的平方大于等于0；(2)存在一对实数，使2x+3y+3＜0成立；(3)

7、勾股定理.解：（1）x∈R,x2≥0.(2)(x,y),x∈R,y∈R,2x+3y+3＜0.(3)以a、b、c为三条边，c为斜边的直角三角形，a2+b2=c2.10.命题“三角形的三个内角中，至少有一个角不小于60°”是全称命题吗？判断它的真假.解析：是全称命题，且为真命题，可用反证法证明：在△ABC中，假设三角内角均小于60°，则∠A+∠B+∠C＜180°,这与内角和定理矛盾，原命题为真.11.命题“存在实数k＜0，使方程x2+(2k+1)x+k=0有两相异实根”是存在性命题吗？判断其真假.解析：是存在性命题，且是真命题，因为任意实数k，Δ=（2k

8、+1)2-4k=4k2+1＞0恒成立.12.已知f(x)=ax2+bx+c的图象过点(-1,0)，是否存在常数a、b、c，使不等式x≤f(x)≤对一切实数x均成立？解：∵f(x)的图象过点（-1，0），∴a-b+c=0.∵x≤f(x)≤对一切x∈R均成立，∴当x=1时也成立，即1≤a+b+c≤1,故有a+b+c=1.∴b=,c=-a.∴f(x)=ax2+x+-a,故应x≤ax2+x+-a≤对一切x∈R成立.即∴a=.∴c=-a=.∴存在一组常数：a=,b=,c=.使不等式x≤f(x)≤对一切实数x均成立.13.(2005辽宁高考，7)在R上定义运算：

9、xy=x(1-y)，若不等式(x-a)(x+a)＜1对x∈R成立，求a的取值范围.解析：（x-a)(x+a)＜1(x-a)［1-(x+a)］＜1-x2+x+a2-a-1＜0x2-x-a2+a+1＞0.∵不等式对任意实数x成立，∴Δ=1-4(-a2+a+1)＜0,∴-＜a＜.14.(经典回放)已知a＞0，函数f(x)=ax-bx2.(1)当b＞0时，若对任意x∈R都有f(x)≤1,证明a≤2;(2)当b＞1时，证明对任意x∈［0,1］,

10、f(x)

11、≤1的充要条件是b-1≤a≤2.证明：（1）依题意设对任意x∈R都有f(x)≤1,∵f(x)=-b(x-)

12、2+,∴f()=≤1.又∵a＞0,b＞0,∴a≤2.（2）必要性：对任意x∈［0,1］,｜f(x)｜≤1f(x)≥-1,∴f(1)≥-1，即a-b≥-1.∴a≥b-1.对任意x∈［0,1］,｜f(x)｜≤1f(x)≤1,∵b＞1,可以推出f(）≤1,即a·-1≤1.∴a≤2.∴b-1≤a≤2.充分性：∵b＞1,a≥b-1,对任意x∈［0,1］,可以推出ax-bx2≥b(x-x2)-x≥-x≥-1,即ax-bx2≥-1.∵b＞1,a≤2,对任意x∈［0,1］,可以推出ax-bx2≤2x-bx2≤1,即ax-bx3≤1.∴-1≤f(x)≤1.综上，当b＞

13、1时，对任意x∈［0,1］,｜f(x)｜≤1的充要条件是b-1≤a≤2.